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第十九届“华杯赛”决赛初二组试题与答案

发布时间:2014-04-30 13:36:24  

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题(初二组)

(时间: 2014年4月12日10:00~11:30)

一、填空题(每小题 10分, 共80分)

233?33332?32?23=________. 2?2?3

4?a?b?, a2?b2?68, 那么????3?c?921. 计算: ab2. 已知正整数a, b, c满足三个等式:?, 3c

c2等于________.

3. 如图, E, F分别是菱形ABCD的边AB, AD上的点,

?DCB?60?, ?DFE?105?, DF?1, BE?2?3,

那么这个菱形的边长等于________.

4. 将一个四位数的四个数字之和的两倍与这个四位数相加得2379, 则满足条件的四位数有________个.

5. 已知x?50?a?50?a, 其中a是正整数, 那么所有使得x为整数的a的取值之和为________.

?a3?ax?y?0?6. 已知a, b, c为互不相等的非零实数, 且存在实数x, y满足 ?b3?bx?y?0,

?c3?cx?y?0?

那么a?b?c的值是________.

7. 如右图所示, 五边形ABCDE中, AB?AE, BC?CD, AC?2厘米, ?BAE?60?, ?B??BCD??D??E,

则五边形ABCDE的面积是________平方厘米.

- 1 -

8. 方程x3?Ax2?Bx?C?0的系数A,B,C为整数, |A|?10,|B|?10,|C|?10,

且1是方程的根, 那么这种方程总共有________个.

二、解答下列各题(每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程)

a??9. 关于x的方程?x?1???|4x?a|?2??0的3个解恰好是某个直角三角形三条2??

边的边长, 那么这个直角三角形面积的最大值是多少?

10. 若干个选手参加象棋比赛, 每两个选手下一盘. 每盘棋的记分方法为:胜者

得1分, 和棋各得0. 5分, 负者得0分. 如果有两名选手共积11分, 其他选手的平均积分为整数, 那么一共下了多少盘棋?

11. 在梯形ABCD中, AB//CD, AB?8 , CD?6.

M, N分别为AD, BC的中点, MN与梯形ABCD的对

角线AC, BD分别相交于P, Q. 如图所示的四边形

ABQP的面积为18, 求梯形ABCD的面积.

12. 已知十个互不相同的正数满足:

1) 它们的和为385;

2) 它们中任意两个数的和或者差的绝对值是这十个数中的某个数. 请写出这十个数.

三、解答下列各题(每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程)

13. 右图中, ?ABC??BCD??DAB?45?, BD?2厘米,

求四边形ABCD的面积.

14. 有n个人在网上购物, n?2. 已知, 任意三个人中有两人买有同一种类的商

品, 没有三个人买有同一种类的商品. 品, 但没有买同一种类的商品, 则n的最大值是多少? 当n最大时, 这n个人一共最少买了多少种商品?

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第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题参考答案

(初二组)

一、填空(每题 10 分, 共80分)

二、解答下列各题(每题 10分, 共40分, 要求写出简要过程)

9. 答案:3?23 4

10. 答案: 21或者231

11. 答案:56

12. 答案:7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70

三、解答下列各题(每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程)

13. 答案:2平方厘米.

14. 答案:10, 20

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