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小学数学奥林匹克指导与练习96

发布时间:2014-04-30 13:42:04  

小学数学奥林匹克指导与练习96

裂项法(一)

同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。

(一)阅读思考

例如,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式:

下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】

例1. 计算:

分析与解答:

上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了。

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像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。

例2. 计算:

公式的变式

当 分别取1,2,3,……,100时,就有

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例3. 设符号( )、< >代表不同的自然数,问算式的数的数的积是多少?

分析与解:减法是加法的逆运算,

相联系,便可找到一组解,即

另外一种方法 设 这里

都是自然数,且是个单位分数,所以,即

,即是

的约数,有

,当

就变成

中这两个符号所代表

,与前面提到的等式

时,利用上面的变加为减的想法,得算式

,则

,代入上式得

一定大于零,假定

又因为是自然数,所以一定能整除们便得到一个比一定有

,即

个就有个,这一来我的约数时,

更广泛的等式,即当,是

上面指出当,,是的约数时,一定有

36共有1,2,3,4,6,9,12,18,36九个约数。 当 当 当 当 当 当 当 当

,这里,

时,时,时,时,时,时,时,时,

,,,,,,,,

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当时,,

故( )和< >所代表的两数和分别为49,32,27,25。

【模拟试题】(答题时间:20分钟)

二.尝试体验:

1. 计算:

2. 计算:

3. 已知

是互不相等的自然数,当时,求。

请做完之后再看答案!

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【试题答案】

1. 计算:

2. 计算:

3. 已知是互不相等的自然数,当时,求

的值为:75,81,96,121,147,200,361。

因为18的约数有1,2,3,6,9,18,共6个,所以有。

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还有别的解法。

======*以上是由明师教育编辑整理

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