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初中奥数讲义_代数证明附答案

发布时间:2014-05-01 08:11:49  

代数证明

代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系.

在初中阶段,要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明.

恒等式的证明常用的方法有: (1)由繁到简,从一边推向另一边;

(2)从左右两边人手,相向推进;

(3)作差或作商证明,即证明:左边一右边=0,左边?1(右边?0). 右边

条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换,证明的关键是寻找条件与结论的联系,既要注意已知条件的变换,使之有利于应用;又要考虑求证的需求情况,使之有利于与已知条件的沟通.

代数证明不同于几何证明,几何证明有直观的图形为依托,而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用.

例题求解

【例1】(1)求证:x

ax?a2?y

ay?a2?z

az?a2?1113??? x?ay?az?aa

111111(2)求证:(a?)2?(b?)2?(ab?)2?4?(a?)(b?)(ab?). abababab

思路点拨 (1)从较复杂的等式左边推向等式右边,注意左边每个分式分子与分母的联系;(2)等式两边都较复杂,对左、右两边都作变形或作差比较.

注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值,使得等式总能成立,那么这个等式叫做恒等式.把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子,这种变形叫做恒等变形,形变值不变是恒等变形的特点.

代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形,分解、换元、引参、配方、分组、拆分,取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法.

【例2】 已知x?y?a?b,且x2?y2?a2?b2.

求证:x2001?y2001?a2001?b2001.

(黄冈市竞赛题)

思路点拨 从完全平方公式入手,推出 x、y与a、b间关系,寻找证题的突破口. 【例3】 有18支足球队进行单循环赛,每个参赛队同其他各队进行一场比赛,假设比赛的结果没有平局,如果用ai和bi,分别表示第i(I=1,2,3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数.

求证:a12?a22???a182?b12?b22???b182.

1

(天津市竞赛题)

思路点拨 作差比较,明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键.

【例4】 已知ax3?by3?cz3,且?1

x11??1. yz

求证:ax2?by2?cz2?a??c.

思路点拨 条件中有一个连等式,恰当引入参数,把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式.

(a?b?c)3(b?c?a)3(c?a?b)3(a?b?c)3

【例5】 已知abc?0,证明:四个数、、、中至少有一个abcabcabcabc

不小于6.

(北京市竞赛题)

思路点拨 整体考虑,只需证明它们的和大于等于24即可.

注 证明条件等式的关键是恰当地使用条件,常见的方法有:

(1)将已知条件直接代入求证式;

(2)变换已知条件,再代入求证式;

(3)综合变形巳知条件,凑出求证式;

(4)根据求证式的需求,变换已知条件,凑出结果等.

不等关系证明类似于等式的证明,在证明过程中常用如下知识:

(1)若A—B>0,则A>B;

(2)若A—B<0,则A<B; (3)a2?b2?2ab; (4)x?1; ?2(x>0)x

M. n?、an中至少有一个大于 (5)若a1?a2???a?M,则a1、a2、

学力训练

1.已知P?a?bb?cc?a,q?,r=,求证:(1?p)(1?q)(1?r)?(1?p)(1?q)(1?r). a?bb?cc?a

abcx2y2z2xyz???0 2.已知???1,.求证:2?2?2?1. xyzabcabc

3.已知:a?bb?cc?a??,求证:8a?9b?5c?0. a?b2(b?c)3(c?a)

4.设39?432的小数部分为b,求证:39?432?2b?

2221. b2225.设x、y、z为有理数,且(y—z)+( x-y)+(z—x)=(y+z-2x)+(z+x-2y)+(x+y—2z),求证:

(yz?1)(zx?1)(xy?1)

(x?1)(y?1)(z?1)

2 222?1.

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