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初中奥数讲义_图形的折叠、剪拼与分割附答案

发布时间:2014-05-01 09:38:20  

图形的折叠、剪拼与分割

一页普通的纸,童年时我们用稚气的双手把它折成有趣的动物,民间艺人可以把它剪成美丽的图案.折纸与剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验,是丰富想象力与心灵手巧的结合.

对图形进行折叠与剪拼,是学习几何不可或缺的重要一环,通过折叠与剪拼图形,我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的.

把图形或部分沿某直线翻折叫图形的折叠,对图形通过有限次的剪裁再重新拼接成新的图形叫图形的剪拼.

解与图形折叠或剪拼相关的问题,利用不变量解题是关键,在折叠过程中,线段的长度、角的度数保持不变;在剪拼过程中,新图形与原图形的面积一般保持不变.

例题求解

【例1】 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于 .

(南通市中考题)

思路点拨 设CD=x,由折叠的性质实现等量转换,将条件集中到Rt△BDE中,建立x的方程.

注 图形折叠与剪拼问题可考壹我们的动手操作能力和分析推理能力,解题时需要把计算、推理与合情想象结合起来.

折叠问题可以对称观点认识:

(1)折痕两边是全等的;

(2)对应点连线被折痕垂直平分.

解折叠问题常用到勾股定理、相似形、方程思想等知识与方法.

【例2】 如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,则重叠部分△AFC的面积为( )

A.12 D10 C.8 D.6 (2004年武汉市选拔赛试题)

1

思路点拨 只需求出AF长即可.

【例3】

第一步:先把矩形ABCD对折,折痕为MN,如图1;

第二步:再把B点叠在折痕线MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为B′,得Rt△AB'E,如图2; 第三步:沿EB'线折叠得折痕EF,如图3.

利用展开图4探究:

(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论.

(2)对于任一矩形,按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由.

(山西省中考题)

思路点拨 本例没有现成的结论,需经历实验、观察、猜想、证明等数学活动,从而探究得到结论.

【例4】如图,是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为10cm的矩形后,剩下的一块下脚料.工人师傅要将它作适当地切割,重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等,接缝尽可能短的正方形工件.

(1)请根据上述要求,设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线,以及拼接后所得到的正方形,保留拼接的痕迹);

(2)比较(1)中的两种方案,哪种更好一些?说说你的看法和理由.

(山东省中考题)

2 取一张矩形的纸进行折叠,具体操作过程如下:

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