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初中奥数讲义_飞代数式的化简与求值附答案

发布时间:2014-05-01 09:38:24  

代数式的化简与求值

1.在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明,其中也涉及到它们的化简与求值.本讲主要是把这兰种类型的代数式综合起来,其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容.

2.对于代数式的化简、求值,常用到的技巧有:

(1)因式分解,对所给的条件、所求的代数式实施因式分解,达到化繁为简的目的;

(2)运算律,适当运用运算律,也有助于化简;

(3)换元、配方、待定系数法、倒数法等;

(4)有时对含有根式的等式两边同时实施平方,也不失为一种有效的方法.

例题求解

【例1】已知x?4?,求

2x4?6x3?2x2?18x?23x2?8x?152的值. 思路点拨 由已知得(x-4)=3,即x-8x+13=0.所以原式=5.

注 本题使用了整体代换的作法.

【例2】已知:x+y+x=3a(a ≠0),求:(x?a)(y?a)?(y?a)(z?a)?(z?a)(x?a)

(x?a)2?(y?a)2?(z?a)2的值. 思路点拨 由x?y?z?3a得:(x?a)?(y?a)?(z?a)?0

解设x?a?m,y?a?n,z?a?p,∴p??(m?n)

∴原式=1(可将m?n?p?0两边平方的得到) 2

【例3】已知(a?b)(b?c)(c?a)a?b?ca?b?c?a?b?c,求的值. ??cbaabc

a?b?ca?b?c?a?b?c???k cba思路点拨 设

?a?b?c?ck?∴?a?b?c?bk,然后对a?b?c?0和a?b?c?0两种情况进行讨论,原式=8和?1.

??a?b?c?ak?

【例4】已知a?b?c?1,a2?b2?c2?2,a3?b3?c3?3,求(1)abc的值:(2)a4?b4?c4的值. 思路点拨 先由条件求出ab?bc?ac??1125,可得abc?,a4?b4?c4?. 266

注 这道题充分体现了三个数的平方和,三个数的立方和,及三个数四次方和的常规用法,这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的.

【例5】 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;乙商场:两次提价的百分率都是a?b(a>0,2

b>0);丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,则提价最多的商场是( ) 1

A.甲 B.乙 C.丙 D.不能确定

思路点拨 乙商场两次提价后,价格最高.选B

111111【例6】 已知非零实数 a、b、c满足a2?b2?c2?1,a(?)?b(?)?c(?)??3,求a?b?c的值. bcacab

思路点拨 原条件变形为:(a?b?c)(ab?bc?ac)?0

∴ a?b?c为±1或0.

【例7】(2001年重庆市)阅读下面材料:

在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时;我机发现,从第一个数开始,以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值.具有这种规律的一列数,除了直接相加外,我们还可以用公式S?na?

计算它们的和.(公式中的n表示数的个数,a表示第一个数的值,d表示这个相差的定值.)

那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=10?3?

用上面的知识解决下列问题:

为保护长江,减少水土流失,我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林.从1995年起在坡荒地上植树造林,以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地,由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响,都有相同数量的新坡荒地产生,下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据.假设坡荒地全部种上树后,不再有水土流失形成新的坡荒地,问到哪一年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.

10(10?1)?2?120. 2n(n?1)?d2

思路点拨 1996年减少了25200-24000=1200,

1997年减少了24000-22400=1600,

?

m年减少了1200+400×(m—1996).

1200+1600+?+1200+400(m—1996)=25200.

令n=m—1995,得 n?1200?

∴ m =1995+n =2004.

∴ 到2004年,可以将坡荒地全部种上树木.

【例8】 ( “信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师2 n(n?1)?400?25200,n?9或n??14(舍去) 2

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