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初中奥数讲义_飞跃-从全等到相似附答案

发布时间:2014-05-01 09:38:38  

飞跃-从全等到相似

全等三角形是相似三角形的相似比等于1的特殊情况,从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃,不但认识形式上有质的变化.而且思维方式也产生突变,相等是全等三角形的主旋律,在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂,不仅有比例式,还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等.

通过寻找(或构造)相似三角形,用以计算或论证的方法,我们称为相似三角形法,在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用,是几何学中应用最广泛的方法之一.

熟悉以下形如“A型”、“X型”“子母型”等相似三角形.

例题求解

【例1】如图,△ABC中,∠ABC=60’°,点P是△ABC内一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB= .

(全国初中数学竞赛题)

思路点拨 PA、PB、PC分别是△ABP、△BCP的边,从判定这两个三角形的关系入手.

注 相似是几何中的一个概念,但相似性不仅表现在事物的几何形态上,而且还体现在事物的功能、结构、原理上.

类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中,著名物理学家麦克斯韦曾说:“借助类比,我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式.” 在新事物面前,人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比.这里蕴含的思想方法就是类比.

【例2】 a、b、c分别是△ABC的三边的长,且aa?b,则它的内角∠A、∠B的关系是( ) ?ba?b?c

A.∠B>2∠A B.∠B=2∠A C.∠B<2∠A D.不确定

(全国初中数学联赛试题)

思路点拨 先化简已知等式,根据所得等式构造相应线段,通过全等或相似寻找角的关系.

【例3】 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC

于1

E,交CF于F.求证:BP=PE×PF

(吉林省中考题)

思路点拨 由于BP、PE、PF在同一条直线上,所以必须通过作辅助线寻找等线段来转化问题.

【例4】 如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,连结FC(AB>AE) .

(1)△AEF与△EFC是否相似,若相似,证明你的结论,若不相似,请说明理由;

(2)设AB?k,是否存在这样的k值,使△AEF与△BFC相似?若存在,证明你的结论并求出k的值:BC2

若不存在,说明理由.

(重庆市中考题)

思路点拨 本例是一道存在性探索问题,对于(2),假设存在,则Rt△AEF与Rt△BFC中有一对锐角相等,怎样由边的比值得出角的关系?不妨从特殊角入手,逆推求出k的值.

【例5】 如图,△ABC和△AlBlC1均为正三角形,BC和B1C1的中点均为D.求证:AA1⊥CC1.

(重庆市竞赛题)

思路点拨 作出等边三角形最基本的辅助线,并延长AAl交CCl于E,寻找相似三角形,证明∠A=90°. 注 比例线段(或等积式的)证明是几何问题中的常见题型.基本证法有:

(1)从相似三角形入手;

2

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