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初中奥数讲义分解方法的延拓附答案

发布时间:2014-05-01 13:03:09  

分解方法的延拓

——换元法与主元法

因式分解是针对多项式的一种恒等变形,提公因式法、公式法,分组分解法是因式分解的基本方法,通常根据多项式的项数来选择分解的方法.

一些复杂的因式分解问题.常用到换元法和主元法.

所谓换元,即对结构比较复杂的多项式,若把其中某些部分看成一个整体,用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化、明朗化,在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用.

所谓主元,即在解多变元问题时,选择其中某个变元为主要元素,视其他变元为常量,将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式,则能排除字母间的干扰,简化问题的结构.

例题求解

【例1】 分解因式:(x4?x2?4)(x4?x2?3)?10.

( “五羊杯”竞赛题)

思路点拨 视x4?x2为一个整体.用一个新字母代替,从而能简化式子的结构. 【例2】 多项式x2y?y2z?z2x?x2z?y2x?z2y?2xyz因式分解后的结果是( ).

A.(y-z)(x+y)(x-z) B.(y-z)(x-y)(x+z)

C. (y+z)(x一y)(x+z) D.(y十z)(x+y)(x一z)

(上海市竞赛题)

思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式,直接分解有一定困难,把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式,改变其结构,寻找分解的突破口.

【例3】把下列各式分解因式:

(1)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+ x; (天津市竞赛题)

(2)1999x一(1999一1)x一1999; (重庆市竞赛题)

(3)(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1); (“希望杯”邀请赛试题)

(4)(2x-3y)十(3x-2y)-125(x-y). (第13届“五羊杯”竞赛题)

思路点拔 (1)是形如abcd+e型的多项式,分解这类多项式时,可适当把4个因式两两分组,使得分组相乘后所得的有相同的部分;(2)式中系数较大,不妨把数用字母表示;(3)式中x+y;xy多次出现,可引入两个新字母,突出式子特点;(4)式前两项与后一项有密切联系.

【例4】把下列各式分解因式:

1 3332222

(1)a(b一c)+b(c-a)+c (a一b);

(2)x+xy-2y-x+7y-6.

思路点拨 (1)式字母多次数高,可尝试用主元法;(2)式是形如ax+bxy+cy+dx+ey+f的二元二次多项式,解题思路宽,用主元法或分组分解法或用待定系数法分解.

【例5】证明:对任何整数 x和y,下式的值都不会等于33.

x+3xy-5xy一15xy+4xy+12y.

(莫斯科奥林匹克八年级试题)

思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积,于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可.

注:分组分解法是因式分解的量本方法,体现了化整体为局部、又统揽全局的思想.如何恰当分组是解题的关键,常见的分组方法有:

(1)按字母分组:

(2)按次数分组;

(3)按系数分组.

为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题,读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果:

(1)a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2);

(2)a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ac)

学力训练

1.分解因式:(x+3x)-2(x+3x)-8= .

2.分解因式:(x+x+1)(x+x+2)-12= .

3.分解因式:x-xy-2y-x-y= . (重庆市中考题)

4.已知二次三项式x2?mx?8在整数范围内可以分解为两个一次因式的积,则整数m的可能取值为 .

5.将多项式x4?2x2?3分解因式,结果正确的是( ).

A.(x2?3)(x2?1) B.(x2?1)(x2?3)C.(x2?3)(x?1)(x?1) D.(x2?1)(x?3)(x?3)

(北京中考题)

6.下列5个多项式:

2 2222222543223452222222

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