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圆的弧长公式及试题

发布时间:2014-05-01 13:07:36  

初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲

一. 本周教学内容:

弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积

教学目的

1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征,使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。

2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。

3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。

4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想,培养学生空间想象能力和计算能力。

教学重点和难点:

教学重点是弧长和扇形面积公式,圆锥及其特征,圆锥的侧面积计算

难点是圆锥侧面展开图(扇形)中各元素与圆锥各元素之间的关系

教学过程

1. 圆周长:C?2?r

圆面积:S??r2

2. 圆的面积C与半径R之间存在关系C?2?R,即360°的圆心角所对的弧长,因此,1°2?R 360

n?R n°的圆心角所对的弧长是 180

n?R ?l? P120。 180的圆心角所对的弧长就是

*这里的180、n在弧长计算公式中表示倍分关系,没有单位。

3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。 发现:扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形面积也就越大。

4. 在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S??R2,所以圆心角为n°的扇形面积是: n?R21?lR(n也是1°的倍数,无单位) S扇形?3602

5. 圆锥的概念

观察模型可以发现:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆,侧面是一个曲面,如果把这个侧面展开在一个平面上,展开图是一个扇形。

如图,从点S向底面引垂线,垂足是底面的圆心O,垂线段SO的长叫做圆锥的高,点S叫做圆锥的顶点。

锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说,把直角三角形SOA绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴SO叫做圆锥的轴,圆锥的轴通过底面圆的圆心,并且垂直于底面。另外,连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA、SA1、SA2、……都叫做圆锥的母线,显然,圆锥的母线长都相等。

母线定义:连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。P122

6. 圆锥的性质

由图可得

(1)圆锥的高所在的直线是圆锥的轴,它垂直于底面,经过底面的圆心;

(2)圆锥的母线长都相等

7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算

圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。

圆锥侧面积是扇形面积。

如果设扇形的半径为l,弧长为c,圆心角为n(如图),则它们之间有如下关系: c?n?l 180

1cl??rl 2 同时,如果设圆锥底面半径为r,周长为c,侧面母线长为l,那么它的侧面积是: S圆侧面?

圆锥的全面积为:?rl??r2

圆柱侧面积:2?rh。

例:在⊙中,120°的圆心角所对的弧长为80?cm,那么⊙O的半

例:若扇形的圆心角为120°,弧长为10?cm,则扇形半径为_____________,扇形面积为

例:如果一个扇形的面积和一个圆面积相等,且扇形的半径为圆半径的2倍,这个扇形的中心角为____________。

2 例:已知扇形的周长为28cm,面积为49cm,则它的半径为____________cm。

例:两个同心圆被两条半径截得的AB?10?,CD?6?,又AC=12,求阴影部分面积。

??

例:如图,已知正方形的边长为a,求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。

例:已知AB、CD为⊙O的两条弦,如果AB=8,CD=6,AB的度数与CD的度数的和为180°,那么圆中的阴影部分的总面积为?

??

?例:在△AOB中,∠O=90°,OA=OB=4cm,以O为圆心,OA为半径画AB,以AB为直径作半

圆,求阴影部分的面积。

例:①、②……m是边长均大于2的三角形,四边形、……、凸n边形,分别以它们的各顶点为圆心,以1为半径画弧与两邻边相交,得到3条弧,4条弧,……

(1)图①中3条弧的弧长的和为_________________

图②中4条弧的弧长的和为_________________

(2)求图m中n条弧的弧长的和(用n表示)

○○

例:如图,在Rt△ABC中,已知∠BCA=90°,∠BAC=30°,AC=6m,把△ABC以点B为中心逆时针旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处,那么AC边扫过的图形(阴影部分)的面积为?

例:如图,已知Rt△ABC的斜边AB=13cm,一条直角边AC=5cm,以直线AC为轴旋转一周得一个圆锥。求这个圆锥的表面积。如果以直线AB为轴旋转一周,能得到一个什么样的图形?

例:一个圆锥的模型,这个模型的侧面是用一个半径为9cm,圆心角为240°的扇形铁皮制作,再用一块圆形铁皮做底,则这块图形铁皮的半径为______________。

例:若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形,则这个圆锥的侧面积是_______。

例:已知圆锥的底面半径为40cm,母线长为90cm,则它的侧面展开图的圆心角为______。

例:若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则侧面展开图的圆心角是__________。

例:如图,圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm,母线长50cm。

(1)画出它的展开图;

(2)计算这个展开图的圆心角及面积。

例:一个圆锥的高是10cm,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积。

例:蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成,如果想用毛毡搭建20个底面积为9?m2,高为3.5m,外围高4m的蒙古包,至少要多少平方米的毛毡?

基础演练]

1. 已知扇形的弧长为6πcm,圆心角为60°,则扇形的面积为____________。

2. 已知弓形的弧所对的圆心角为60°,弓形弦长为a,则这个弓形的面积是__________。

3. 如图,在平行四边形ABCD中,AB?43,AD?2,BD⊥AD,以BD为直径的⊙O交AB于E,交CD于F,则图中阴影部分的面积为___________。

4. 如图,AB是⊙O1的直径,AO1是⊙O2的直径,弦MN//AB,且MN与⊙O2相切于C点,若⊙

??O1的半径为2,则O1B、BN、CN、O1C所围成的阴影部分的面积是_____________。

5. 如图,△ABC为某一住宅区的平面示意图,其周长为800m,为了美化环境,计划在住宅区周围5m内,(虚线以内,△ABC之外)作绿化带,则此绿化带的面积为___________。

6. 如图,两个同心圆被两条半径截得的AB?6?cm,CD?10?cm,⊙O'与AB,CD都相切,则图中阴影部分的面积为____________。

????

[综合测试]

7. 如图,OA是⊙O的半径,AB是以OA为直径的⊙O’的弦,O’B的延长线交⊙O于点C,

??且OA=4,∠OAB=45°,则由AB,AC和线段BC所围成的图形面积是______。

8. 如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB,AC的夹角为120°,AB长为30cm,贴纸部分BD长为20cm,贴纸部分的面积为( )

A. 800?cm2 3B. 500?cm2 C. 800?cm2 3 D. 500?cm2

9. 如图,在同心圆中,两圆半径分别为2、4,∠AOB=120°,则阴影部分的面积为( )

A. 4? B. 2? C. 4? 3 D. ?

10. 一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平翻滚(如图),那么,B点从开始至结束所走过的路径长度为( )

A. 3? 2 B. 4? 3 C. 4 D. 2?3? 2

11. (2004·湖北黄冈)如图,要在直径为50cm的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面,问怎样才能截出直径最大的凳面,最大直径是多少厘米?

[探究升级]

12. (2004·新疆)在相距40km的两个城镇A、B之间,有一个近似圆形的湖泊,其半径为10km,圆心恰好位于A、B连线的中点处,现要绕过湖泊从A城到B城,假设除湖泊外,所有的地方均可行走,有如图所示两种行走路线,请你通过推理计算,说明哪条路线较短。

(1)的路线:线段AC?CD?线段DB ?

? (2)的路线:线段AE?EF?线段FB(其中E、F为切点)

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