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2014年浙江省数学竞赛模拟卷九

发布时间:2014-05-07 13:43:01  

2014年浙江省数学竞赛模拟卷九

一、选择题(每小题5分,共50分)

?3y31?

1、 点集{(x,y)|lg??x?3?9???lgx?lgy}的子集个数为

??

(A)1 (B)2 (C)4 (D)无数个

2、在等差数列{an}中,3(a3 + a5)+2(a7 + a10 + a13)=24,则此数列前13项的和是 (A)26 (B)13 (C)52 (D)156 (

x2y2

??1上的动点,F2是椭圆的右焦点,则|MA|+|MF2|3、已知点A(2,2),点M是椭圆

259

的最大值是

(A)10+2 (B)10-2 (C)22 (D)10+22

4、地面上有两根相距m米的铅直柱,它们的高分别为b米和c米(b>c),则在水平面上视它们上端仰角相等的点的轨迹为 ( ) (A)两个点 (B)一条直线 (C)一个圆 (D)一个椭圆

??x2?2x,x?05、已知f?x???,若f?x??ax恒成立,则a的取值范围是 (

??lnx?1,x?0?

(A)???,0?

(B)???,1?

(C)[-2,1]

(D)[-2,0]

6、在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A、B

????2,则

点集????,??(A)22

(B)23

?

??1所表示的区域的面积是

(C)42

?

( )

(D)43

7、将函数y?sinx?3cosx的图象向左平移m?m?0?个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值为 (A)

?

12

(B)

? 6

(C)

? 3

(D)

5? 6

8、如图,在等腰△ABC中,∠A=90°,BC=6,D、E分别是AC、 AB上的点,CD=BE=2,O为BC的中点,将ADE沿DE折起, 得到四棱锥A1-BCDE,若A1O⊥平面BCDE,则A1D与平面ABC 所成角的正弦值为 (A)

E

2 3

(B)

3 3

(C)

2 2

(D)

2 4

1

9、已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y?ax?b?a?0?将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是

(A)(0,1) ( ) ?21?,?(B)?1??? 22???21??,? (C)1??23??(D)?,? ?11?

?32?

10、若函数f?x??x3?ax2?bx?c有极值点x1、x2,且f?x1??x1,则关于x的方程3?f?x???2af?x??b?0的不同实根个数为 2

( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

二、填空题(每小题7分,共49分)

11、已知两个单位向量a、b的夹角为60°,若c=ta+(1-t)b满足c⊥b,则t=______。

12、如图,两个同心圆的半径分别为26和4,矩形ABCD D

C 的边AB、CD分别为两圆的弦,则当矩形ABCD的面积最大时, 矩形的周长为______。

13、从{1,2,3,……,20}中选取四个不同的数a、b、c、d

满足a+c=b+d,若不考虑a、b、c、d的顺序,则选取方法的总数为____。

14、若曲线y?x?1与22xy?x?y?1?k有唯一的公共点,则k的所有可能值为_____。 x2?3x?2

15、若f?x??1?x2x2?ax?b的图象关于直线x?2?0对称,则f?x?的最大值为____。

16、方程log53x?4x=log45?3的解集为__________。

17、若x2?y2?z2?1,x?2y?3z?,则x?y?z?_____。 ???????xx?

三、解答题(每小题17分,共51分)

18、设函数f(x)?|lg(x?1)|,实数a,b(a?b)满足f(a)?f(?

求a,b的值.

b?1),f(10a?6b?21)?4lg2,b?2

2

19、已知数列?an?定义如下:an??k?1n2k?1。求证: 2k

(1)an?1?1; 2n?3

(2)对任意的正整数n,都有

?ak?1nk?2n?2?1成立。

?x?y?0,20、设不等式组 ? 表示的平面区域为D, 区域D内的动点P到直线x?y?0?x?y?0

和直线x?y?0的距离之积为2。 记点P的轨迹为曲线C

,过点F的直线l与曲线C交于A、B两点。 若以线段AB为直径的圆与y轴相切,求直线l的斜率。

3

x2y2

??1上的一个动点,过点P作椭圆的切线与圆O:x2?y2?12相20*、设P为椭圆43

交于M、N两点,圆O在M、N两点处的切线相交于点Q。

(1) 求点Q的轨迹方程;

(2) 若P是第一象限的点,求△OPQ的面积的最大值。

4

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