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全国初中数学竞赛培训题(二)

发布时间:2014-05-07 13:43:06  

全国初中数学竞赛培训题(二)

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6小题,每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.

1. 已知x,y,z满足2355x?y??,则的值为 ( ) xy?zz?xy?2z

111. (C)?. (D). 332

11112.当x分别取值,,,…,,1,2,…,2005,2006,2007时,计算2007200620052(A)1. (B)

1?x2

代数式的值,将所得的结果相加,其和等于 ( ) 1?x2

(A)-1. (B)1. (C)0. (D)2007.

23. 设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数y?(a?)x?cx?a?b

2b在x?1时取最小值2

8?b,则△ABC是 ( ) 5

(A)等腰三角形. (B)锐角三角形. (C)钝角三角形. (D)直角三角形.

4. 已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径,则∠A的度数是( )

(A)30°. (B)45°. (C)60°. (D)75°.

5.设K是△ABC内任意一点,△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F,则S△DEF:S△ABC的值为 ( )

(A)1224. (B). (C). (D). 9993

6.袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球,从袋中摸出15个球,摸出的球中恰好有3个红球的概率是 ( )

(A)1132

. (B). (C). (D). 105105

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1. 设x?1

2?1,a是x的小数部分,b是?x的小数部分,则a?b?3ab?_______. 33

2. 对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程x2?(n?2)x?2n2?0的两个根记作

,则an,bn(n?2)

3. 已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB?2,BC?CD?10,AD?6,过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E,与CB的延长线交于点F,则BE?BF的值为______ ___.

N C G D

4. 若100a?64和201a?64均为四位数,且均为完全平方数,则整数a的值是 111=_______. ????(a2007?2)(b2007?2)(a2?2)(b2?2)(a3?2)(b3?2)

三、解答题

1、 (本题满分20分)设m,n为正整数,且m?2,如果对一切实数t,二次函数y?x2?(3?mt)x?3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2t?n,求m,n的值.

2、(本题满分25分)如图,四边形ABCD是梯形,点E是上底边AD上一点,CE的延长线与BA的延长线交于点F,过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M,BM与AD交于点N.证明:∠AFN=∠DME. P M

D A

B C

3、 (本题满分25分)已知a是正整数,如果关于x的方程x?(a?17)x?(38?a)x?56?0的根都是整数,求a的值及方程的整数根. 32

答 案

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6小题,每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.

1. 已知x,y,z满足2355x?y??,则的值为 ( ) xy?zz?xy?2z

111. (C)?. (D). 332(A)1. (B)

【答】B.

解 由32355x?y5x?3x1????,故选(B). 得y?3x,z?x,所以2xy?zz?xy?2z3x?3x3

注:本题也可用特殊值法来判断.

2.当x分别取值1111,,,…,,1,2,…,2005,2006,2007时,计算2007200620052

1?x2

代数式的值,将所得的结果相加,其和等于 ( ) 21?x

(A)-1. (B)1. (C)0. (D)2007.

【答】C.

11?()2

11?n2n2?11?n2??0解 因为,即当分别取值,n(n为正整数)时,计??x121?n2n2?11?n2n1?()n111?12

?0算所得的代数式的值之和为0;而当x?1时,.因此,当分别取值,,x200720061?12

11,…,,1,2,…,2005,2006,2007时,计算所得各代数式的值之和为0.故选(C). 20052

b2b3. 设a,b,c是△ABC的三边长,二次函数y?(a?)x?cx?a?在x?1时取最小值22

8?b,则△ABC是 ( ) 5

(A)等腰三角形. (B)锐角三角形. (C)钝角三角形. (D)直角三角形.

【答】D.

?c???1,?b?2(a?)解 由题意可得?即2?bb8?a??c?a???b,225??b?c?2a,34?c?ba?b,因此所以,3?55c?b,?5?

a2?c2?b2,所以△ABC是直角三角形. 故选(D).

4. 已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径,则∠A的度数是( )

(A)30°. (B)45°. (C)60°. (D)75°. 【答】C. 解 锐角△ABC的垂心在三角形内部,如图,设△ABC的外心为O,D为BC的中点,BO的延长线交⊙O于点E,连CE、AE,则CE//AH,AE//CH,则OB?AH?CE?2OD,所以∠OBD=30°,∠BOD=60°,所以∠A=∠BOD=60°.故选(C).

5.设K是△ABC内任意一点,△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F,则S△DEF:S△ABC的值为 ( )

(A)1224. (B). (C). (D). 9993

【答】A.

解 分别延长KD、KE、KF,与△ABC的三边AB、BC、CA交于点M、N、P,由于D、E、F分别为△KAB、△KBC、△KCA的重心,易知M、N、P分别为AB、BC、CA的中点,所以S△MNP?1S△ABC. 4

2

32易证△DEF∽△MNP,且相似比为2:3,所以S△DEF?()S△MNP?

所以S△DEF:S△ABC?411?S△ABC?S△ABC. 9491.故选(A). 9

6.袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球,从袋中摸出15个球,摸出的球中恰好有3个红球的概率是 ( )

(A)1132. (B). (C). (D). 105105

【答】B.

解 设摸出的15个球中有x个红球、y个黑球、z个白球,则x,y,z都是正整数,且x?5,y?6,z?7,x?y?z?15.因为y?z?13,所以x可取值2,3,4,5.

当x?2时,只有一种可能,即y?6,z?7;

当x?3时,y?z?12,有2种可能,y?5,z?7或y?6,z?6;

当x?4时,y?z?11,有3种可能,y?4,z?7或y?5,z?6或y?6,z?5;

当x?5时,y?z?10,有4种可能,y?3,z?7或y?4,z?6或y?5,z?5或y?6,z?4. 因此,共有1+2+3+4=10种可能的摸球结果,其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种,所以所求的概率为21?.故选(B). 105

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1. 设x?1

2?1

1,a是x的小数部分,b是?x的小数部分,则a?b?3ab?____1___. 33解 ∵x?2?1?2?1,而2?2?1?3,∴a?x?2?2?1. 又∵?x??2?1,而?3??2?1??2,∴b??x?(?3)?2?2.∴a?b?1, ∴a?b?3ab?(a?b)(a2?ab?b2)?3ab?a2?ab?b2?3ab?(a?b)2?1.

2. 对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程x?(n?2)x?2n?0的两个根记作

,则an,bn(n?2)22331110031=? ????(a2007?2)(b2007?2).(a2?2)(b2?2)(a3?2)(b3?2)

解 由根与系数的关系得an?bn?n?2,an?bn??2n2,所以

(an?2)(bn?2)?anbn?2(an?bn)?4??2n2?2(n?2)?4??2n(n?1), 则11111????(?), (an?2)(bn?2)2n(n?1)2nn?1

111? ???(a2007?2)(b2007?2)(a2?2)(b2?2)(a3?2)(b3?2)

=?1?1111(?)?(?)?2?2334??(11?1111003. ?)???(?)??20072008?2220084016

3. 已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB?2,BC?CD?10,AD?6,过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E,与CB的延长线交于点F,则BE?BF的值为____4_____.

解 延长CD交⊙O于点G,设BE,DG的中点分别为点M,N,则

易知AM?DN.因为BC?CD?10,由割线定理,易证BF?DG,所

以BE?BF?BE?DG?2(BM?DN)?2(BM?AM)?2AB?4. M N C G D

4. 若100a?64和201a?64均为四位数,且均为完全平方数,则整数a的值是a?64?n,则32?m,n?100,两式相减得 解 设100a?64?m,201

因为101是质数,且?101?n?m?101,所以n?m?101,101a?n2?m2?(n?m)(n?m),22

a?64?n2,整理得n2?402n?20237?0,解得n?59,或故a?n?m?2n?101.代入201

n?343(舍去).

所以a?2n?101?17.

三、解答题

1、 (本题满分20分)设m,n为正整数,且m?2,如果对一切实数t,二次函数y?x2?(3?mt)x?3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2t?n,求m,n的值.

解 因为一元二次方程x?(3?mt)x?3mt?0的两根分别为mt和?3,所以二次函数2

y?x2?(3?mt)x?3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为mt?3. 由题意,mt?3?2t?n,即(mt?3)?(2t?n),即(m?4)t?(6m?4n)t?9?n?0. 由题意知,m?4?0,且上式对一切实数t恒成立,所以

2??m?4?0, ?222????(6m?4n)?4(m?4)(9?n)?0,222222

?m?2,???24(mn?6)?0,??m?2,?m?3,?m?6,所以?或? ?n?1.mn?6,n?2,???

2、(本题满分25分)如图,四边形ABCD是梯形,点E是上底边AD上一点,CE的延长线与BA的延长线交于点F,过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M,BM与AD交于点N.证明:∠AFN=∠DME. P

A M D

证明 设MN与EF交于点P,∵NE//BC,

∴△PNE∽△PBC,∴

∴PB?PE?PN?PC.

又∵ME//BF,∴△PME∽△PBF,∴

∴PB?PE?PM?PF.

∴PN?PC?PM?PF,故PNPE?, PBPCPMPE?, PBPFPMPC? PNPF

又∠FPN=∠MPE,∴△PNF∽△PMC,∴∠PNF=∠PMC,∴NF//MC

∴∠ANF=∠EDM.

又∵ME//BF,∴∠FAN=∠MED.

∴∠ANF+∠FAN=∠EDM+∠MED,∴∠AFN=∠DME.

3、 (本题满分25分)已知a是正整数,如果关于x的方程x3?(a?17)x2?(38?a)x?56?0的根都是整数,求a的值及方程的整数根.

解 观察易知,方程有一个整数根x1?1,将方程的左边分解因式,得

(x?1)x2?(a?18)x?56?0

因为a是正整数,所以关于x的方程 ??

x2?(a?18)x?56?0 (1)

的判别式??(a?18)?224?0,它一定有两个不同的实数根.

而原方程的根都是整数,所以方程(1)的根都是整数,因此它的判别式??(a?18)?224应该是一个完全平方数.

设(a?18)?224?k(其中k为非负整数),则(a?18)?k?224,即 222222

(a?18?k)(a?18?k)?224.

显然a?18?k与a?18?k的奇偶性相同,且a?18?k?18,而224?112?2?56?4?28?8,所以

?a?18?k?112,?a?18?k?56,?a?18?k?28,?a?39,?a?12,?a?0,或或解得或?或? ?????a?18?k?2,?a?18?k?4,?a?18?k?8,?k?55,?k?26,?k?10,

而a是正整数,所以只可能??a?39,?a?12,或? ?k?55,?k?26.

2当a?39时,方程(1)即x?57x?56?0,它的两根分别为?1和?56.此时原方程的三个根

为1,?1和?56.

2当a?12时,方程(1)即x?30x?56?0,它的两根分别为?2和?28.此时原方程的三个根

为1,?2和?28.

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