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九年级第一学期数学竞赛题

发布时间:2014-05-07 13:43:06  

九年级第一学期数学竞赛题

姓名___________班级__________

一、选择题(共6题,每小题5分,满分30分)

1.已知a、b、c为ABC的三边,且关于x的一元二次方程

(c?b)x2?2(b?a)x?(a?b)?0有两个相等的实根,则这个三角形是 )

A.等边三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.不等边三角形

2、若小明同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约为2 cm的小坑,则该铅球的直径约为( )

A. 10 cm B. 14.5 cm C. 19.5 cm D. 20 cm

13、如图,若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y?(x?0)的图象x

上,则点E的坐标是( ) _ y

__ O _ x(A

) (B

) ????

(C

) (D

) ????

4、已知x为实数,x?

(A)x?_ DA_ _ 1一定等于( ) x1111 (B) ?x? (C) ?x? (D)x? xxxx

5、已知x,y,z满足2355x?y??,则的值为 ( ) xy?zz?xy?2z

111. (C)?. (D). 332(A)1. (B)

6、设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为 ( ) A.3314. B. . C. . D. . 14727

1

二、填空题(共4小题,每小题5,满分20分)

7.已知,半径为2的⊙0,圆内接△ABC的边

则∠C=_________

?x3?y3?19,8、.已知实数x,y满足方程组?则x2?y2?_____

?x?y?1,

9.在正方形ABCD中,点E是BC上的一定点,且D BE=10,EC=14,点P是BD上的一动点,则PE+PC

的最小值是 .

E (第9题)

10.若关于x的方程(x?2)(x2?4x?m)?0有三个根,且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长,则m的取值范围是 .

三、解答题

分)已知:关于x的一元二次方程x2?2(2m?3)x?4m2?14m?8?0

(1)若m?0,求证:方程有两个不相等的实数根; 1、(10

(2)若整数m满足12<m<40,且方程有两个整数根,求m的值.

2

2、(15分)如图,在半径为5的⊙O中,直径AB的不同侧有定点C和动点P,已知

BC:CA=4:3,点P在弧AB上运动,(1)当点P与点C关于AB对称时,求CP的长;(2)当点P运动到弧AB的中点时,求CP的长;(3)点P在弧AB上运动时,求CP的长的取值范围。

3、(15分)小明学习了垂径定理,做了下面的探究,请根据题目要求帮小明完成探究.(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题:如图1,在⊙0中,C是劣弧AB的中点,直线CD⊥AB于点E,则AE=BE.请证明此结论;(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB组成⊙0的一条折弦.C是劣弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F,再连接AD证明结论成立.请写出证明过程;(3)如图3,PA.PB组成⊙0的一条折弦,若C是优弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE,PE与PB之间存在怎样的数量关系?写出结论并证明之.

3

分)在平面直角坐标系中,直线l:y??2x?8分别与x轴、y轴相交于A、B两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P. 4、(10

(1)连接PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;

(2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P形. 4

2011九年级第一学期数学竞赛题 (答案)

班别_________________ 姓名_________________ 试室_____________ 座位号__________________

―――――――――――――装―――――――――――――订―――――――――――线―――――――――――――――――― 一、选择题(每小题5分,共30分) 二、填空题(每小题5分,共20分) 7、 600或1200 8、 13 9、 26 10、 3〈m≤4 三、解答题(第11、14题各10分,第12、13题各15分,其中每小问5分,共50分) 11、(1) 解: (1)∵Δ=[2(2m-3)]2-4(4m2-14m+8)=8m+4 若m>0,则Δ>0 ∴方程有两个不相等的实数根 (2) ∵方程有两个整数根, ∴Δ是完全平方数。 ∵Δ=8m+4=4(2m+1) 若12<m<40的整数, 则25<2m+1<81 ∵2m+1为奇数, ∴2m+1=49 ∴m只为24

5

∴CP=2CD=9.6

3、(1)证明:(1)连接AD,BD,

∵C是劣弧AB的中点,

∴∠CDA=∠CDB,

∴△ADB为等腰三角形,

∵CD⊥AB,

∴AE=BE;

_______________ ―――――――――――――――― (2)(2)延长DB、AP相交于点F,再连接AD, ∵ADBP是圆内接四边形, ∴∠PBF=∠PAD, ∵C是劣弧AB的中点, 6

∴∠CDA=∠CDF,

∵CD⊥PA,

∴△AFD为等腰三角形,

∴∠F=∠A,AE=EF,

∴∠PBF=∠F,

∴PB=PF, ∴AE=PE+PB

(3)AE=PE-PB.

连接AD,BD,AB,BD,DB、AP相交于点F, ∵弧AC=弧BC,

∴∠ADC=∠BDC,

∵CD⊥AP,

∴∠DEA=∠DEF,∠ADE=∠FED,

∵DE=DE,

∴△DAE≌△DFE,

∴AD=DF,AE=EF,

∴∠DAF=∠DFA,

∴∠DFA=∠PFB,∠PBD=∠DAP,

∴∠PFB=∠PBF,

∴PF=PB, ∴AE=PE-PB;

4、解:

1)⊙P与x轴相切.

∵直线y=-2x-8与x轴交于A(-4,0), 与y轴交于B(0,-8),

∴OA=4,OB=8.

由题意,OP=-k,

∴PB=PA=8+k.

在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2,

∴k=-3,∴OP等于⊙P的半径, ∴⊙P与x轴相切.

7

(2)设⊙P与直线l交于C,D两点,连结PC,PD

当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.

3∵△PCD为正三角形,∴DE=CD=,PD=3, 2

3. ∴PE=2∵∠AOB=∠PEB=90°, ∠ABO=∠PBE,

∴△AOB∽△PEB,

∴AO:AB=RE:PB

∴ PB=3 2

3 2 ∴PO=BO-PB=8-

∴ P(0,

∴ ∴k=3-8) 23-8 2

3-8), 2 当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,-

∴k=-3-8, 2

∴当k=33-8或k=--8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆22

心P为顶点的三角形是正三角形.

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