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第一讲 因式分解竞赛辅导

发布时间:2014-05-10 13:57:32  

第一讲 因式分解

换元法与主元法

因式分解是针对多项式的一种恒等变形,提公因式法、公式法,分组分解法是因式分解的基本方法,通常根据多项式的项数来选择分解的方法.

一些复杂的因式分解问题.常用到换元法和主元法.

所谓换元,即对结构比较复杂的多项式,若把其中某些部分看成一个整体,用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化、明朗化,在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用.

所谓主元,即在解多变元问题时,选择其中某个变元为主要元素,视其他变元为常量,将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式,则能排除字母间的干扰,简化问题的结构.

例题求解

【例1】 分解因式:(x4?x2?4)(x4?x2?3)?10

( “五羊杯”竞赛题)

思路点拨 视x4?x2为一个整体.用一个新字母代替,从而能简化式子的结构.

【例2】 多项式x2y?y2z?z2x?x2z?y2x?z2y?2xyz因式分解后的结果是( ).

A.(y-z)(x+y)(x-z) B.(y-z)(x-y)(x+z)

C. (y+z)(x一y)(x+z) D.(y十z)(x+y)(x一z)

(上海市竞赛题)

思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式,直接分解有一定困难,把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式,改变其结构,寻找分解的突破口.

【例3】把下列各式分解因式:

(1)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+ x2; (天津市竞赛题)

(2)1999x2一(19992一1)x一1999; (重庆市竞赛题)

(3)(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2; (“希望杯”邀请赛试题)

(4)(2x-3y)3十(3x-2y)3-125(x-y)3. (第13届“五羊杯”竞赛题)

思路点拔 (1)是形如abcd+e型的多项式,分解这类多项式时,可适当把4个因式两两分组,使得分组相乘后所得的有相同的部分;(2)式中系数较大,不妨把数用字母表示;(3)式中x+y;xy多次出现,可引入两个新字母,突出式子特点;(4)式前两项与后一项有密切联系.

【例4】把下列各式分解因式:

(1)a2(b一c)+b2(c-a)+c2 (a一b); (2)x2+xy-2y2-x+7y-6.

思路点拨 (1)式字母多次数高,可尝试用主元法;(2)式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多项式,解题思路宽,用主元法或分组分解法或用待定系数法分解.

能力训练

1.分解因式:(x2+3x)2-2(x2+3x)-8=

2.分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-

3.分解因式:x2-xy-2y2-x-y= . (重庆市中考题)

4.已知二次三项式x2?mx?8在整数范围内可以分解为两个一次因式的积,则整数m的可能取值为 .

5.将多项式x4?2x2?3分解因式,结果正确的是( ).

A.(x2?3)(x2?1) B.(x2?1)(x2?3)C.(x2?3)(x?1)(x?1) D.(x2?1)(x?3)(x?3) (北京中考题)

138.若a?b??,a?3b?1,则3a2?12ab?9b2?的值为( ). 55

A.224 B. C. D.0 (大连市“育英杯”竞赛题) 935

9.分解因式

(1)(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2; (2)(2x2-3x+1)2一22x2+33x-1;

(3)x4+2001x2+2000x+2001; (4)(6x-1)(2 x-1)(3 x-1)( x-1)+x2;

(5)a2?2b2?3c2?3ab?4ac?5bc;(6)x2?xy?6y2?x?13y?6 (“希望杯”邀请赛试题)

10.分解因式:(x2?1)(x?3)(x?5)?12.

11.分解因式:x2?5xy?x?3y?6y2.

12.分解因式:(x?2)3?(y?2)3?(x?y)3( “五羊杯”竞赛题)

第一讲 因式分解(一)

1、分解因式:

(1)?2x5n?1yn?4x3n?1yn?2?2xn?1yn?4(2)x3?8y3?z3?6xyz

(3)a2?b2?c2?2bc?2ca?2ab(4)a7?a5b2?a2b5?b7

2、分解因式:a3?b3?c3?3abc

3、分解因式:x15?x14?x13??x2?x?1

4、分解因式:x3?9x?8

5、分解因式:

(1)x9?x6?x3?3(2)m2?1n2?1?4mn

44(3)?x?1??x2?1??x?1?(4)a3b?ab3?a2?b2?1 ??????2

6、分解因式:x2?x?1x2?x?2?12

7、分解因式:x2?3x?24x2?8x?3?90

8、分解因式:x2?4x?8?3xx2?4x?8?2x2

9、分解因式:6x4?7x3?36x2?7x?6

10、分解因式:x2?xy?y2

答案:

1、(1)?2xn?1ynxn?y

2??????????2????n2?4xyx2?y2 ?????x2?y(2)?x?2y?z?x2?4y2?z2?2xy?xz?2yz 2?2??(3)?a?b?c? (4)?a?b??a?b?a4?a3b?a2b2?ab3?b4

2、?a?b?c?a2?b2?c2?ab?bc?ac3、x8?1x4?1x2?1?x?1?。

4、?x?1?x2?x?8。

5、(1)?x?1?x2?x?1x6?2x3?3(2)?mn?m?n?1??mn?m?n?1? ????????????????

(3)3x2?1x2?3(4)a2?ab?1b2?ab?16、?x?1??x?2?x2?x?5。

7、2x2?5x?12?2x?7??x?1? 8、?x?2??x?4?x2?5x?8。

9、?2x?1??x?2??3x?1??x?3?10、x2?xy?y2。

训练:

1、分解因式:

(1)x2n?xn?????????????????2121y? (2)x10?x5?2 94

3??(3)x4?2x2y2?4xy3?4x3y?y2?4x2?y2? 4??

(4)x5?x4?x3?x2?x?1?x5

2、分解因式:

(1)x3?3x2?4(2)x4?11x2y2?y2(3)x3?9x2?26x?24(4)x4?12x?323

3、分解因式:

(1)2x2?3x?1?22x2?33x?1(2)x4?7x2?14x2?7x?1

(3)?x?y??2xy?1?x?y??1(4)?x?3?x2?1?x?5??20 3??2??2??

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