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竞赛班多元微积分专题(二级)

发布时间:2014-05-11 13:48:38  

一、多元微积分专题(数一)考试内容

(一)特殊曲面

x2y2

1.平面的方程为Ax?By?Cz?D?0, 抛物面方程为 ??z?a(,pq?0)2p2q

x2y2z2

22222. 球面方程为(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?R,椭球面方程为2?2?2?1 abc

3.锥面方程为a2z2?(x2?y2),其中锥面的半顶角为arctana

?F(y,z)?0,绕z

轴旋转生成的旋转曲面方程为F(z)?0 ?x?0

?F(x,y,z)?05.空间曲线?:?关于xoy面的投影柱面方程为H(x,y)?0(消z)

?G(x,y,z)?04. 对?

(二)切向量与法向量

?x?x(t)?1.空间曲线?:?y?y(t)过相应于t?t0点处的切向量为s?(x'(t0),y'(t0),z'(t0)), ?z?z(t)?

切线方程为x?x(t0)y?y(t0)z?z(t0), ??x'(t0)y'(t0)z'(t0)

有向曲线元ds?(dx,dy,dz)?e?ds,e??(cos?,cos?,cos?)是与?同向的单位向量,

ds?

2. ??F(x,y,z)?0过其上点M(x0,y0,z0)处的切向量为s?(Fx,Fy,Fz)0?(Gx,Gy,Gz)0 G(x,y,z)?0?

3.曲面F(x,y,z)?0过其上点M(x0,y0,z0)处的法向量为n?(Fx,Fy,Fz)0, 切平面方程为Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0,

4.曲面?:z?f(x,y)过相应于(x0,y0)点处的法向量为n?(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1) 有向曲面元dS?(dydz,dzdx,dxdy)?endS,

en?(cos?,cos?,cos?)是与?同侧的单位

n?k1向量,曲面(面积)元素dS?d??d??cos?n?k?

(三)曲线与曲面积分的计算法则

1、记忆以下第一类曲线积分对称奇偶性性质:

(1)当积分曲线段L对称于x轴时,令L'是L关于x轴某一侧的部分,则有

?2f(x,y)ds,若f(x,?y)?f(x,y)关于y为偶??? ??L'?Lf(x,y)ds连续?0,若f(x,?y)??f(x,y)关于y为奇?

上述性质可类似地应用于关于y轴的对称性与函数关于x的奇偶性 f(x,y)

(3)当积分曲线段L关于原点对称时,若f(?x,?y)??f(x,y),则有

(4)若将x,y互换,积分曲线段L不变,( L关于y?x对称)

?Lf(x,y)ds?0 ?Lf(x,y)ds??f(y,x)ds?L1[f(x,y)?f(y,x)]ds(轮换性) 2?L1

2、记忆以下第一类曲面积分对称奇偶性性质:

(1)当积分曲面?对称于xoy面时,令?'是?关于xoy面某一侧的部分,则有

??f(x,y,z)dS??f(x,y,z)连续?2f(x,y,z)dS,若f(x,y,?z)?f(x,y,z)关于z为偶??? ??'?0,若f(x,y,?z)??f(x,y,z)关于y为奇?

上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性

(2)若将x,y,z互换,积分曲面?不变,

则??f(x,y,z)dS???f(x,z,y)dS???f(y,z,x)dS?

???(轮换性)

3、曲线与曲面积分的计算

?x?x(t)???L:??y?y(t)???第一类??f(x,y)dsf[x(t),y(t   ??????L???t????线积分?????平面曲线积分要结合性质法,空间曲线积分使用参数法???x?x(t)?线???L:??y?y(t)??积????????LPdx?Qdy???{P[x(t),y(t)]x'(t)?Q[x(t),y(t)]y'(t)}dt?起?终?L??分?

Qx?Py?k??第二类

?????线积分???LPdx?Qdy???(Qx?Py)dxdy?kSD??D?????Pdx?Qdy?Rdz?(R?Q)dydz?(P?R)dzdx?(Q?P)dxdy??yzzxxy???L????????(结合性质法)??第一类面积分??f(x,y,z)ds???f[x,y,z(x,y???Dxy??

?:z?z(x,y)??面?????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS??????积??第二类???分?面积分????(?Pzx?Qzy?R)dxdy????(?Pzx?Qzy?R)d?,曲面上侧取正号

Dxy??????????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(Px?Qy?Rz)dv???????

4、二元函数的等价命题

设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内具有一阶连续偏导数,则在D内以下结论等价:

(1)Qx?Py;(2)对任一分段光滑有向闭曲线L,有

(3)?LPdx?Qdy?0; ?LPdx?Qdy与路径L无关,仅与起点A(x1,y1)、终点B(x2,y2)有关,且有

Bx2y2y2x2

Ax1y1y1x1?LPdx?Qdy??Pdx?Qdy??P(x,y1)dx??Q(x2,y)dy??Q(x1,y)dy??P(x,y2)dx(x,y)(4)Pdx?Qdy为某二元函数u(x,y)的全微分,且有 u(x,y)??(x0,y0)Pdx?Qdy?C??P(x,y0)dx??Q(x0,y)dy?C x0y0xy

(5)向量(P,Q)为某二元函数u(x,y)的梯度

5、二元函数的N?L公式

?

(x2,y2)(x1,y1)du(x,y)??(x2,y2)(x1,y1)x2,y2)Pdx?Qdy?[u(x,y)]((x1,y1) 2

二、典型例题

题型一 切向量与法向量的计算

?x?t?1?例1、求曲线?y?过点M0(1,1,0)的切线方程,并判断其与x?y?0的位置关系. t?32?z?t?t?

解: 曲线在M0的切向量s?(1,?t?2,3t2?2t)M?(1,?1,1) 0

y?1?z,而已知平面的法向量n?(1,1,0) ?1??则s?n又M0(1,1,0)不在平面x?y?0上,故所求切线方程与平面x?y?0平行. 则其切线方程为x?1?

例2、椭球面2x2?3y2?z2?9与锥面z2?3x2?y2的交线C上点M0(1,?1,2)处的切线x?1y?1z?2??. 8107

例3、在第一卦限内求曲面z?xy上一点,使过该点的切平面垂直于2x?y?3z?0,且与1三个坐标面所围立体的体积为. 6?解: 切平面的法向量为n??y0,x0,?1?,(x0,y0,x0y0)为所求点 ?n??2,1,3? 得 2y0?x0?3?0 方程为

切平面方程为 y0(x?x0)?x0(y?y0)?(z?x0y0)?0

切平面在三坐标轴上的截距为:x0,y0,?x0y0

切平面与三坐标面所围立体的体积 V?122x0y0 6

?2y0?x0?31解?22,得第一卦限中曲面上的点为(1,1,1)和(2,,1). 2?x0y0?1

222例4、求函数f(x,y,z)?340?x?2y?3z在点M0(?3,3,?2)处沿的方向导数,其中为f(x,y,z)?1过M0处的内法向量.

2?2222解: gradf(M0)?(fx,fy,fz)0??[(40?x?2y?3z)3(x,2y,3z)]M0?(2,?4,4) 3

令F(x,y,z)?39?x2?2y2?3z2 ,则n可取(2,?4,4),

?f故 M0?gradf(M0)?en?gradf(M0)?6. ?n

?x?ay?b?例5、 证明曲面f?,??0的切平面通过一定点. ?z?cz?c?

ff1证明:fx?1,fy?2,fz??[(x?a)f1?(y?b)f2] 2z?cz?c(z?c)

其切平面方程为fx(X?x)?fy(Y?y)?fz(Z?z)?0

即[(z?c)(X?x)?(x?a)(Z?z)]f1?[(z?c)(Y?y)?(y?b)(Z?z)]f2?0

显然, 当(X,Y,Z)?(a,b,c)时,上式恒成立,故所证命题成立.

3

题型二 曲线积分的计算

x2y2

??1,其周长记为a,则?(3x2?2xy?4y2)ds?12a. 例1、设L为椭圆L43

例2、?x2yzds,其中?为直线段AB,其中A(1,0,2),B(1,3,2). ?

?x?1

1?解:AB的方程为:?y?3t (0?t?1),则原式=?3t?202?32?02dt?9 0?z?2?

例3、L为x2?y2?z2?a2与x?y?z?0的交线,则

原式?232xds??a. ?L31232222(x?y?z)ds?ads??a. ?L3?L3

(x?y)dx?(x?y)dy例4、设L是单位圆的逆时针边界曲线,则??2?. 22Lx?y

例5、下列解法正确吗?(错)

y3x3Green

若L取x?y?9正向,则??dx?dy???(x2?y2)d??9??d??81? L33DD22

例6、设曲线积分xydx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连续偏导数,且?(0)?0, c?2

则?(1,1)

(0,0)xy2dx?y?(x)dy?1. 2

??(y?(x))?(xy2),y??(x)?2xy,知??(x)?2x,由、?(0)?0, 得?(x)?x2. ?x?y

113再由条件积分与路径无关, 取积分路线y?x,则得原式?2?xdx?. 02

12222(或取折线(0,0)?(1,0)?(1,1),或xydx?yxdy?d(xy)) 2

例7、设f(x)在(??,??)内具有一阶连续偏导数,L是上半平面(y?0)内的有向分段光

1x22滑曲线,起点为(a,b), 终点为(c,d), 记I??[1?yf(xy)]dx?2[yf(xy)?1]dy, Lyy

(1)证明曲线积分I与路径无关;(2)当ab?cd时,求I的值.

1x22解:(1)记P(x,y)?[1?yf(xy)],Q(x,y)?2[yf(xy)?1],则 yy

?Q1?P?f(xy)?xyf?(xy)?2?, 于是P(x,y),Q(x,y)满足:在y?0时,?xy?y

?Q?Q?P?P?C,?C且?, 所以曲线积分I与路径L无关 ?x?y?x?y

(2)由于曲线积分与路径无关,取L为从(a,b)到(c,d)的折线段,于是

c1d(c,b)(c,d)cI??P(x,b)dx??Q(c,y)dy??(?bf(xb))dx??(cf(xy)?2)dy abb(a,b)(c,b)y

cbcdcdc?acccaca???f(t)dt??f(t)dt????f(t)dt????. abbcabbdbdbdb解:由

4

(x?2y)dx?ydy是否为某个二元函数u(x,y)的全微分?若是,求u(x,y). 2(x?y)

x?2yy?P?Q?2y解: 设P?因为??, 所以在直线x?y?0,Q?,?y?x(x?y)3(x?y)2(x?y)2

以外的区域内,原式是某个函数u(x,y)的全微分.

取A(1,0)为起点,以折线ABC为积分路径,其中B(x,0),C(x,y),于是

(x,y)(x?2y)dx?ydyx1yyyu(x,y)????dy?lnx?y?. ?1x?0(x?y)2(1,0)(x?y)2x?y

ydx?xdy22L例9、求曲线积分,其中圆周??x?1?y?2,L的方向为逆时针方向. L2x2?y2提示:由于x?y?0时,被积函数无意义,故L所包围的区域不满足格林公式的条件,作一小圆挖去原点?0,0?,作逆时针方向的圆周l:x?rcos?,y?rsin?,0???2? 使l全部被L所包围,在L和l为边界的区域D内,则有

ydx?xdyydx?xdyydx?xdy原式??????2?. ??222222L?lll2?x?y?2?x?y?2?x?y?例8、试问

例10、设?'(y)连续,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上, 2x2?y4

?(y)dx?2xydy?0;为常数,(1)对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有? 24C2x?y

(2)求函数?(y)的表达式. L?(y)dx?2xydy恒

证明:(1)如图,将C分解为:C?l1?l2,另作一条曲线l3围绕原点且与C相接,

??l2?l32x2?y4?0. 2x2?y4

?(y)2xy,Q?解:(2) 设P?,P,Q在单连通区域x?0内具有一阶连续偏导数, 24242x?y2x?y

?(y)dx?2xydy由(1)知, ?在该区域内与路径无关,故当x?0时,总有Qx?Py. L2x2?y4

?4x2y?2y52x2??(y)???(y)y4?4?(y)y3

由Qx?, Py?, 242242(2x?y)(2x?y)

???(y)??2y,① 得? 435??(y)y?4?(y)y?2y.  ?② 22由①得?(y)??y?c,将?(y)代入②得 c?0,从而?(y)??y. 则?(y)dx?2xydy2x2?y4C??(y)dx?2xydyl1?l3??(y)dx?2xydy

5

题型三 曲面积分的计算

例1、求

ds

,其中?是球面x2?y2?z2?a2被平面z?h(0?h?a)截出的顶部. ??z?

a2?x2?y2,?zx2?zy2?

解:?的方程为z?

aa?x?y

2

2

2

2?a2?h2dsadxdy?d?a

? ?????2?ad??2?aln2222??00zha?x?ya???Dxy

例2、计算

2222

,其中为圆柱面介于z?0和z?h之间的部分. x?y?axdS????

[解一]利用向xoz面投影的方法来计算,此时分曲面?为两个半柱面?1,?2。由于?1,

?2关于xoz面对称,被积函数为关于y的偶函数,故所求积分为在?1上积分的两倍,其中?z?h, ?1的方程为y?a2?x2, 在xoz上的投影区域为Dxz:?a?x?a,0

?y?y?x?,?0.于是

22?x?za?x

原式?2

??x

S1

2

dS?

2??x

DZX

2

?(

?xa?x

?2

2

)?0dzdx?2?dz?

22

ha

2?

?4ah?

a

20

x?asint4ah?02a2sin2tdt??a3h.

22

xdS?y????dS,从而 ?

?

类似地,本题也可利用向yoz面投影的方法来计算. [解二]由于?的方程中x,y对称,所以

a2a211222

S??2?ah??a3h. 原式???(x?y)dS???adS?222?2?

推广:

223

(x?1)dS?xdS?dS??ah?2?ah ???????

?

?

x2y2

??z2?1的上半部分,点P(x,y,z)??,?为?在P点处的例3、设?为椭球面22

zdS

切平面,?(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面的距离,求??.

?(x,y,z)?

1

?xXyY

x2y22

?z)2???zZ?1,?(x,y,z)?(?解: ?的方程为

4422

x2y2

由z?

?(?),?

22

则原式?

?

112?3222

(4?x?y)d??d??r)rdr??. ??2?00

4x2?42y?2

6

22222,其中为曲面的外侧. x?y?z?rzdxdy???例4、 求曲面积分

?

[解一] 利用高斯公式??zdxdy?????2(0?0?2z)dv利用对称性?0. x2?y2?z2?r2

[解二]以上积分也可用常规的方法,分片积分。

将?分为上半球面:?1:z?

于是

??1r2?x2?y2,下半球面:?1:z??r2?x2?y2, 22zdxdy?zdxdy???????z?2

22dxdy ?[?2x?y?r??2(r2?x2?y2)d?]+[?2x?y2?r2??(r2?x2?y2)d?]?0.

例5、计算???axdydz?(z?a)2dxdy?x

?2?y?z22?222,其中?为下半球面z??a?x?y的上侧,a为大于零的常数. [解一] 由于高斯公式要求积分曲面为封闭曲面,所以必须将原曲面?补上一块有向曲面 ?x2?y2?a2,S:? ?z?0,

其法向量与z轴正向相反,从而得到

原式?122axdydz?(z?a)dxdy?axdydz?(z?a)dxdy ??????SSa

12 ?????(3a?2z)dv???adxdy, ?Da

?其中?为??S围成的空间区域,D为z?0上的平面区域x2?y2?a2.于是

2?a011?444????a3. ??2?a?2zdv??

a???a?2d??d?原式?0?0????????a?2a

12[解二] 原式=??[?axzx?(z?a)]dxdy a?

1ax2

???(??(a?a2?x2?y2)2)dxdy aDa2?x2?y2?????

a12?a?2cos2???d??(??(a?a2??2)2)?d? 0a0a2??2

???cos?d???02?2a?3a??

2220??a?2?0d????d? 0aa12??2?d????a??d???d??(a2??2)?d? 000a0

(在第一项中令??sint) 2?a2

42?12214aa????2asintdt??a??(a2??2)20?(a???)0 03a24

?114133???a(cost?cost)02??a3??a3??a3???a3. 2332333?3

7

三、课后练习

1、曲面3x2?y2?z2?16上点(?1,?2,3)处的平面与xoy

. ?x?y?z?0

作与曲面?:x2?y2?z2?1相切的平面方程.

?x?2y?z?1

2x?y?2z?1?0;4x?y?4z?1?0

2、求过L:?

y?z?a上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.

4、证明:光滑曲面f(ax?bz,ay?cz)?0上任一点处的切平面都与某条定直线平行.

3、求证:曲面x?5、求曲面x+

y+z=1的一张切平面,使其在三个坐标轴上的截距之积为最大,并写

出切平面方程.3x?3y?3z?1

7、设平面曲线L为下半圆周y???x2, 则曲线积分(x?y)ds??

?

2

L

?x?a(t?sint),xx?a

Lecosydy?esinydx,esin2a)(?a,2a) 从原点沿 到( ??L

?y?a(1?cost),

9、若?(y)导数连续,?(0)?0,曲线L的方程为??a(1?cos?),a?0,0????,起点

3

A对应于??0,终点B对应于???,求?[?(y)ex??y]dx?[?'(y)ex??]dy.a2?2

L4

(x?1)2ydx?xdy2

L?y?1上在上半平面A(?2,0)?B(4,0)的弧.? 10、求? 为,

Lx2?y29

8、 求

ey(y2?2y?2)

11、?yf(y)dx?x[f(y)?ye]dy与L无关,f(1)?e,则函数f(y)?.

Ly2

y

22

12、设L从原点沿x?y?2x 到(2,0)的一段曲线,连续函数f(x)满足

?exdx]?ex(?xy2dy),求f(x).x2?f(x)?x2??y[f(x)

L

3?

2(2??)

13、设f(x)可导,f(1)?1,D为不包含原点的单连通域,任取M,N?D,在D内与路径无关,求(1)f(x);x(2)取L为x?y?a,求14、设?

为z?

2

?

N

M

ydx?xdy

2x2?f(y)

232323

ydx?xdy

?

L2x2?f(y).

a?0,求??(x3?y3?z3)dS.

?

?5

a 2

x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围绕的空间区域,?是?的

13

). 整个边界的外侧,则??xdydz?ydzdx?zdxdy? 2?R(1?2?

15、设?是由锥面z?16、求I?

442

2xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy,?是z?1?x2?y2(z?0)的上侧.?2? ???

17、计算曲面积分

??(2x?z)dydz?zdxdy,其中S是有向曲面z?x

S

2

?y2 (0?z?1),

1

? 2

332

18、求??2xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy, ?是z?1?x2?y2

其法向量与z轴正向的夹角为锐角。?

?

(z?0)上侧。 ??

8

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