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2009年全国初中数学江西赛区预赛试题(九年级)

发布时间:2014-05-12 08:13:08  

2009年全国初中数学江西赛区预赛试题(九年级)

(2009年3月22日上午9:30~11:30)

喻老师整理

一、选择题(共5小题,每小题7分,满分35分)以下每道小题均给出代号为

A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填,多填或错填都的0分)

1、已知非零实数a、b满足|2a-4|+|b+2|+(a-3)b +4=2a,则a+b等于( )

A、-1 B、0 C、1 D、2

解 有题设知a≥3,题设等式化为|b+2|+(a-3)b =0,于是a=3,b=-2,从而a+b=1,选C

2、如图所示,菱形ABCD边长为a,点O在对角线AC上一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于( )

5+15-1A、2 B、2 C、1 D、2

B0BC1a解:∵△BOC∽△ABC 即 =ABACaa+1

5+1∴a2-a-1=0由于a>0,解得a=2 ,选A

3、将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则关于x、y的方程?ax?by?3组?只有正数解的概率为( )

?x?2y?2

12513A、12 B、9 C、18 D、36

解 当2a-b=0时,方程组无解

当2a-b≠0时,方程组的解为

?2a-b>0?2a-b<0 6-2b??6-2bx?>0????33????2a-b2a-b 由已知,得即a>或a<????2a-32a-322?y????>0 ????2a-b??2a-b?b<3?b>3

由a、b的实际意义为1,2,3,4,5,6可得

?a?23,4,5,6?a?1共有5?2?10种情况;或共3种情况??25,6?b?4, ?b?1,

13又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求概率为36 选D

4、如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,动点P从点B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,把y看作x的函数,函数图象如图2所示,则△ABC的面积为( )

A、10 B、16 C、18 D、32

解 根据图象可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求的AB=8,故

1S△ABC=2×8×4=16 选B

5、关于x、y的方程x2+xy+y2=29的整数解(x、y)的组数为( )

A、2组 B、3组 C、4组 D、无穷多组

解 可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为x2+yx+(2y2-29)=0 由于该方程有整数根,根据判别式△≥0,且是完全平方数

116

由△=y2-4(2y2-29)= -7y2+116≥0解得y2≤≈16.57

显然只有y2=16时,△=4是完全平方数,符合要求

当y=4时,原方程为x2+4x+3=0,此时x1=-1,x2=-3

当y=-4时,原方程为x2-4x+3=0,此时x3=1,x4=3

所以,原方程的整数解为

?x1?-1?x2?-3?x3?1?x4?3选C ;;;?????y1?4?y2?4?y3?-4?y4?-4

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

6、一自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶3000km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆自行车将能行驶 ;

解 设每个轮胎报废时总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为kk ,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为50003000 ,又设一对新轮胎交换位置前走了xkm,交换位置后走了ykm,分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系ky?kx??k?k(x?y)k(x?y)?50003000??2k 列方程,有?kykx50003000???k??50003000

则x+y=3750 ∴填3750

7、已知线段AB的中点为C,以点C为圆心,AB长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长位半径作圆,与⊙

AHA分别相交于点F、G两点,连接FG交AB于点H,则AB 的值为;

解 如图,延长AD与⊙D相交于点E,连接AF,EF。

11由题设知AC=3AD,AB=3AE,

在△FHA和△EFA中,∠EFA=∠FHA=90°,∠FAH=∠EAF

AHAFAH1∴Rt△FHA∽Rt△EFA,AF=AE,而AF=AB,∴AB=3,

1填3

8、已知a1,a2、a3、a4、a5满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数,若b是关于x的方程(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4)(x-a5)=2009的整数根,则b的值为 ;

解 ∵(b-a1)(b-a2)(b-a3)(b-a4)(b-a5)=2009,且a1,a2、a3、a4、a5是五个不同的整数,∴(b-a1),(b-a2),(b-a3),(b-a4),(b-a5),也是五个不同的整数,又∵2009=1×(-1)×7×(-7)×41,

∴(b-a1)+(b-a2)+(b-a3)+(b-a4)+(b-a5)=41,又∵a1+a2+a3+a4+a5=9 ∴可得b=10 填10

9、如图所示,在△ABC中,CD是高,CE为∠ACB的平分线,若AC=14,BC=20,CD=12,则CE的长等于

解 如图,有勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25

故由勾股定理知△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°

作EF⊥BC,垂足为F,设EF=x,由∠ECF=12 ∠ACB=45°,

得CF=x,于是BF=20-x,由于EF∥AC,

所以EFBFx=20-x60AC BC ,即1520,解得x=7

∴2 x=607 2

填607 2

10、10个人围成一个圆圈做游戏,游戏的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来,若抱出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是 ; 解 设报3的人心里想的数是x,

则报5的人心里想的数应该是8-x,

于是报7的人心里想的数是12-(8-x)=4+x,

报9的人心里想的数是16-(4+x)=12-x,

报1的人心里想的数是20-(12-x)=8+x,

报3的人心里想的数是4-(8+x)=-4-x

∴x=-4-x,解得x=-2

填-2

三、解答题(共4小题,每题20分,共80分)

11、函数y=x2+(2k-1)x+k2的图像与x轴的两个交点是否都在直线x=1的右侧?若是,请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在直线x=1的右侧时k的取值范围?

解 不一定,例如,当k=0时,函数的图像与x轴的交点为(0,0)和(1,0),不都在直线x=1的右侧

设函数与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,则x1+x2=-(2k-1),x1·x2=k2当且仅当满足如下条件

?△?0?(?(x2-2)>0 ??10分 ?x1-1)

?x-1)(?1(x2-2)>0

时,抛物线与x轴的两交点都在直线x=1的右侧,由

1?k??4?2k-1)2?4k2?0(?1??-2k-1>0解之k<-??15分 ??2?k2?2k>0???k<-2或k>0??

∴当k<-2时,抛物线与x轴的两个交点在直线x=1的右侧??20分

12、在平面直角坐标系xoy中,我们把横坐标为整数,纵坐标为完成平方数的点称为“好点”,求二次函数y=(x-90)2-4907的图像上的所有“好点”的坐标 解 设y=m2,(x-90)2=k2,m、k都是非负整数,则

K2-m2=7×701=1×4907

即(k-m)(k+m)=7×701=1×4907??10分

?k?m?701?k?m?4907或???k-m?7?k-m?1

?k?354?k?2454则有解得?或?m?347??m?2453

?x1?444?x2?-264?x3?2544?x4?-2364??;;;???y?120409y?120409y?6017209?1?2?y4?6017209?3

故“好点”共有4个,它们的坐标是:

(444,120409)(-264,120409)(2544,6017209)(-2364,6017209) ??20分

13、如图,给定锐角△ABC,BC<CA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过电D、E分别作l的垂线,垂足分别为F、G,试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论?

解法1 结论是DF=EG,下面给出的证明。

∵∠FCD=∠EAB,∴Rt△FCD∽Rt△EAB,于是可得??5分

CDCEDF=BE·AB 同理可得EG=AD·AB??10分

ADBE又∵tan∠ACB=CD =CE ,∴BE·CD=AD·CE,于是可得DF=EG ??20分

解法2 结论是DF=EG,下面给出证明??5分

连接DE,∵∠ADB=∠AEB=90°,

∴A、B、D、E四点共圆,故∠CED=∠ABC??10分

又l是⊙O的过点C的切线,∴∠ACG=∠ABC??15分

∴∠CED=∠ACG,于是DE∥FG,故DF=EG??20分

14、n个正整数a1,a2,??an满足如下条件:

1=a1<a2<a3<??<an=2009,且a1,a2,??an中

任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数,

求n的最大值

解 设a1,a2,??an中去掉ai后剩下的n-1个数的

算术平均数为正整数bi(i=1,2,??n,即

(a?a2???an)?aibi=1 n?1

a-a于是,对于任意的1≤i<j≤n,都有bi-bjn-1

从而,n-1∣(aj-ai)??5分

a-a2008由于b1-bn=n-1 =n-1是正整数,故n-1∣23×251??10分

由于an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+??+(a2-a1)≥+(n-1)+(n-1)+??(n-1)=(n-1)2

∴(n-1)2≤2008,于是n≤45,结合n-1∣23×251,∴n≤9,??15分 另一方面,令a1=8×0+1,a2=8×1+1,a3=8×2+1,??a8=8×7+1,a9=8×251+1,则这9个数满足题设要求,综上所述,n的最大值为9??20分

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