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小学奥数图形与变化

发布时间:2014-05-12 13:08:53  

图形与变化

内容概述

本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换,下面我们就汶些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨.

1.三角形ABC与A?B?C?,如果它们的对应边成比例,即ABBCCA???K,我们A?B?B?C?C?A?就称它们相似,记作△ABC~△A?B?C?.

这个比值K叫做两个三角形的相似系数(注意三角形的先后顺序),如果相似系数为1,就称这两个三角形全等,记作△ABC≌△A?B?C?.

如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似; 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似;

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.

(以上3条判定定理中,如果含有边的比例的关系,而其中的比例系数为l,则这两个三角形全等.)

2.两条直线平行,则:

反之,如果知道上面某种情况的成立,则那两条直线平行.

3.两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方.

典型问题

2.四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=90,求四边形ABCD的面积.

【分析与解】 如下图,以BD的垂直平分线为对称轴L,做△ABD关于L的对称图形△A?BD.连接A?C.

00,0 因为∠ABD+∠BDC=900而∠ABD=∠A?DB=90所以有∠A?DB+∠BDC=90.

222 那么A?CD为直角三角形,由勾股定理知A?C?AB?CD=2500,所以A?C?50.

而在△A?BC中,有A?B=AD=48,有48+14=2500,即A?B+BC=A?C,即△A?BC为直角三角形. 22222

有SA?CD?SA?BC?30?40?

A?CD11?14?48??936. 22?936.

0而|S四边形ABCD?S?SA?BC 评注:Ⅰ.本题以∠ABC+∠BDC=90突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角

形.这样面积就很好解决了.

Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD作L的对称图形.如下:

4.如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程.

【分析与解】 因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如下图. 在

00下图中有∠BCA=110,所以∠ACD=70

000 于是∠ACC?=∠ACD+∠DCC?=∠ACD+∠ABC=70+40=110;

0 即∠ACC?=110=∠CC?D;又因为C?A?只是CA移动的变化,所以C?A?=CA;则

ABC?A?是一等腰梯形.

000 于是,∠ADC?=180-110=70;

0000

又∠CDC?=30,所以∠ADC=70-30=40.

06.如下图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BCD是等腰三角形BD=CD,顶角∠BDC=120,∠

0MDN=60,求△AMN的周长.

【分析与解】 如下图, 延长AC至P,使CP=MB,连接DP.

则有∠MBD=60+S0ADE11?S正六边形DEQSRT?S63DQR1800?1200?∠2

PCD;CP=BM;BD=CD,所以有△MBD≌△PCD.

00于是∠MDC=∠PDC;又因为∠MDB+∠NDC=60,所以∠PDC+∠NDC=∠NDP=60;MD=PD

在△MDN、△PND中,∠NDM=∠NDP,ND=ND,MD=PD,于是△MND≌△PND.有MN=PN. 因为NP=NP=NC+CP,而AM=AB-MB=AB-CP,所以AM+AN+MN=(AB-CP)+AN+(NC+CP)=AB+AN+NC=2.

即△AMN的周长为2.

8.下图为半径20厘米、圆心角为144的扇形图.点C、D、E、F、G、H、J是将扇形的B、K弧线分为8等份的点.求阴影部分面积之和.

【分析与解】 如下图,做出辅助线

△KMA与△ANG形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△KMA≌△ANG,S

KMA0?SANG,而△LMA是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等.

所以,GNMK与扇形KGA的面积相等,那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积.

541440

0?200???60?平方厘米. 扇形KGA的圆心角为×3=54,所以扇形面积为3608

那么KGEB的面积为60??2=120?平方厘米.

如下图,做出另一组辅助线.

△JQA与△ARH形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△JQA≌△ARH,SJQA?SARH=5△A,而△PQA是两个三角形的公共部分,所以右图中的阴影部分面积相等.

所以,JHRQ与扇形JHA的面积相等,那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积.

181440

?202???20?平方厘米. ?1800,所以扇形面积为 扇形JHA的圆心角为3608

那么JHDC的面积为20??2?40?平方厘米.

所以,原题图中阴影部分面积为

SKGEB?SJHDC?120??40??80?≈80×3.14=251.2平方厘米.

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