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2013年第54届国际数学奥林匹克竞赛真题中文版(官方)

发布时间:2014-05-13 13:36:28  

Language:Chinese(Simpli?ed)Day:1

2013年7月23日,星期二

第1题.证明对于任意一对正整数k和n,都存在k个(不必不相同的)正整数m1,m2,...,mk,使得()()()2k?11111+=1+1+···1+.nm1m2mk

第2题.平面上的4027个点称为是一个哥伦比亚式点集,如果其中任意三点不共线,且有2013个点是红色的,2014个点是蓝色的.在平面上画出一组直线,可以将平面分成若干区域.如果一组直线对于一个哥伦比亚式点集满足下述两个条件,我们就称这是一个好直线组:

?这些直线不经过该哥伦比亚式点集中的任何一个点;

?每个区域中都不会同时出现两种颜色的点.

求k的最小值,使得对于任意的哥伦比亚式点集,都存在由k条直线构成的好直线组.第3题.设三角形ABC的顶点A所对的旁切圆与边BC相切于点A1.类似地,分别用顶点B和顶点C所对的旁切圆定义CA边上的点B1和AB边上的点C1.假设三角形A1B1C1的外接圆圆心在三角形ABC的外接圆上.证明:三角形ABC是直角三角形.

三角形ABC的顶点A所对的旁切圆是指与边BC相切,并且与边AB,AC的延长线相切的圆.顶点B,C所对的旁切圆可类似定义.

Language:Chinese(Simpli?ed)时间:4小时30分

每题7分

Language:Chinese(Simpli?ed)Day:2

2013年7月24日,星期三

第4题.设三角形ABC是一个锐角三角形,其垂心为H,设W是边BC上一点,与顶点B,C均不重合.M和N分别是过顶点B和C的高的垂足.记三角形BWN的外接圆为ω1,设X是ω1上一点,且WX是ω1的直径.类似地,记三角形CWM的外接圆为ω2,设Y是ω2上一点,且WY是ω2的直径.证明:点X,Y和H共线.

第5题.记Q>0是所有正有理数组成的集合.设函数f:Q>0→R满足如下三个条件:(i)对所有的x,y∈Q>0,都有f(x)f(y)≥f(xy);

(ii)对所有的x,y∈Q>0,都有f(x+y)≥f(x)+f(y);

(iii)存在有理数a>1,使得f(a)=a.

证明:对所有的x∈Q>0,都有f(x)=x.

第6题.设整数n≥3,在圆周上有n+1个等分点.用数0,1,...,n标记这些点,每个数字恰好用一次.考虑所有可能的标记方式;如果一种标记方式可以由另一种标记方式通过圆的旋转得到,那么认为这两种标记方式是同一个.一种标记方式称为是漂亮的,如果对于任意满足a+d=b+c的四个标记数a<b<c<d,连接标a和d的点的弦与连接标b和c的点的弦都不相交.

设M是漂亮的标记方式的总数,又设N是满足x+y≤n,且gcd(x,y)=1的有序正整数对(x,y)的个数.证明:

M=N+1.

Language:Chinese(Simpli?ed)时间:4小时30分

每题7分

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