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2012年勤学杯数学学科竞赛试题-非专业

发布时间:2014-05-13 13:36:29  

号学

题 答 名 姓要 不 内 线 封 : 级密班业专名院学

《非数学专业》 考试试卷

组卷教师:慕运动 适应范围: 在校非数学专业所有学生

考试方式:闭 卷 本试卷考试分数占总评成绩的100 %

1. (本小题满分10分)叙述并证明拉格朗日微分中值定理. 密

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃ 封

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃

2. (本小题满分10分) 利用极限存在准则证明 lim1x

x??(1?x

)?e.

线

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃

《数学竞赛》考试试卷 第1页 ( 共4页 )

3. (本小题满分10分) 设y?f(x,t),而t?t(x,y)是由方程F(x,y,t)?0所确定的函数,其中f,F都具有一阶连续偏导数,求dydx

.

4. (本小题满分10分) 设有直线Lx?1?1?y2?z?11,Lx?21:

2:0?y?11?z?2

?2

,证明:L1与L2是异面直线,并求两直线的公垂线方程和平行于直线 L1和L2且与它们等距离的平面方程.

5. (本小题满分10分) 设f(x)是在(??,??)上以T为周期的连续函数. x

1)如果f(x)是奇函数,则函数F(x)??0f(t)dt也是以T为周期的周期函数; 2) 如果?

T0

f(x)dx?0,则G(x)??x

a

f(t)dt可表示成线性函数与以T为周期的周期函数之和.

《数学竞赛》考试试卷 第2页 ( 共4页 )

:号学

题 答 名 姓要 不 内 线 封 级密班业专称名院学6. (本小题满分10分) 计算

??e

?x2?y2

dxdy, 其中D:x2?y2?a2,并证明D

???

?x2

0e

dx?

2

.

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃ 密

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃

7. (本小题满分10分) 已知三阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2

x线性无关,且满足

A3x?3Ax?2A2x.(1)记P?[x,Ax,A2x],求三阶矩阵B,使A?PBP

?1

.(2)计算行列式A?E.

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃ 线

┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃

8. (本小题满分10分) 随机地向半圆0?y?

2ax?x2(a为常数)内掷一点,点落在半圆内任何

区域的概率与区域的面积成正比,则求原点和该点的连线与x轴的夹角小于?

4

的概率.

《数学竞赛》考试试卷 第3页 ( 共4页 )

9. (本小题满分10分)设n维向量组

????

1,?2,?3(n?3)线性无关,讨论:当向量组

?x1?x2?x3a?????????2x4?3,

?2x1?3x2?ax3?7x4

?8,

2??1,b?3??2,a?1?b?3线性相关时,求方程组?

的解,且当有无?x1?2x2?3x4?4,???x2?x3?(a?2)x4?b?1,

穷多解时,用其导出组的基础解系表示其通解.

10. (本小题满分10分) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行. 假设一游客在早8点的第X分钟到达底层候梯处,且X在[0,60]上服从均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.

《数学竞赛》考试试卷 第4页 ( 共4页 )

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