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2014全国数学竞赛初三决赛试卷

发布时间:2014-05-14 13:43:12  

2014年全国初中数学联赛决赛试卷

含参考答案

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)

1.已知x,y为整数,且满足(?1

x111211)(2?2)??(4?4),则x?y的可能的值有( ) yxy3xy

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答】 C. x?yx2?y22x4?y4

由已知等式得?22??44,显然x,y均不为0,所以x?y=0或3xy?2(x?y). xyxy3xy

若3xy?2(x?y),则(3x?2)(3?x??1,?x??2,可求得?或?所以x?y?12)y?4??.又x,y为整数,

?y?1.?y?2,

或x?y??1.

因此,x?y的可能的值有3个.

2.已知非负实数x,y,z满足x?y?z?1,则t?2xy?yz?2zx的最大值为 ( )

A.45912 B. C. D.791625

【答】 A.

1t?2xy?yz?2zx?2x(y?z)?yz?2x(y?z)?(y?z)2 4

1731734?2x(1?x)?(1?x)2??x2?x???(x?)2?, 4424477

324易知:当x?,y?z?时,t?2xy?yz?2zx取得最大值. 777

3.在△ABC中,AB?AC,D为BC的中点,BE?AC于E,交AD于P,已知BP?3,PE?1,则AE= ( )

A

. B

C

D

2

【答】 B.

BE?AC,C?B2D因为AD?BC,所以P,D,C,E四点共圆,所以BD?BC?BP?BE?12,又B

所以BD?

DP?. ,

初三,解答1

又易知△AEP∽△BDP,所以PEAEPE?

,从而可得AE??BD?. BDDPDP

4.6张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 ( )

A.1223 B. C. D.2534

【答】 B.

若取出的3张卡片上的数字互不相同,有2×2×2=8种取法;若取出的3张卡片上的数字有相同的,有3×4=12种取法.所以,从6张不同的卡片中取出3张,共有8+12=20种取法.

要使得三个数字可以构成三角形的三边长,只可能是:(2,4,4),(4,4,6),(2,6,6),(4,6,6),由于不同的卡片上所写数字有重复,所以,取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2=8种. 因此,所求概率为

5.设[t]表示不超过实数t的最大整数,令{t}?t?[t].已知实数x满足x?382?. 20511?18{x}?? ,则3xx

( )

A.11 B

.3 C

.(3 D.1 22

111112122?a,则x3?3?(x?)(x??1)?(x?)[(x?)?3]?a(a?3),所以2xxxxxx【答】 D. 设x?

a(a2?3)?18,因式分解得(a?3)(a2?3a?6)?0,所以a?3. 由x?

6.在△ABC中,?C?90?,?A?60?,AC?1,D在BC上,E在AB上,使得△ADE为等腰直角三角形, ?ADE?90? ,则BE的长为 ( )

A

.4? B

.2 C

【答】 A.

过E作EF?BC于F,易知△ACD≌△DFE,△EFB∽△ACB. 2故12?x2??x)]2,即x?4x?1?0.又0?x?

1,故可得x?2

1111?

3解得x?(3?,显然0?{x}?1,0??1,所以{x}?{?1. x2xx11) D

1 2E?2x,AE?2?

2x,DE??x),DF?AC?1,

设EF?x,则BA故BE?2x?4?

二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)

初三,解答2

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