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培优专题5 代数式的化简和求值

发布时间:2014-05-15 08:16:12  

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培优专题5 代数式的化简和求值

用数值代替代数式里的字母,按照代数式里指明的运算计算出的结果,就叫代数式的值,经常利用代数式的值进行比较、推断代数式所反映的规律.

在求代数式的值时,我们经常先将代数式化简,再代入数值计算,从而到达简化计算的目的.在化简代数式时常用到去括号法则、合并同类项法则、绝对值的意义及分类讨论的思想等.

例1 已知x<-3,化简│3+│2-│1+x│││.

分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题,可以从里到外一层一层地去绝对值符号.

解:∵x<-3,∴1+x<0,3+x<0

原式=│3+│2+(1+x)││

=│3+│3+x││

=│3-(3+x)│

=│-x│=-x.

练习1

1.化简:3x2y-[2xy2-2(xy-

2.当x<-2

32xy)+xy]+3xy2. 2

3.化简:│3x+1│

例2 设(2x-1)5 求:(1)a1+a2+a3+a4+a5+a6的值;(2)a0-a1+a2-a3+a4-a5的值;(3)a0+a2+a4的值.

分析 可以取x的特殊值.

解:(1)当x=1时,

等式左边=(2×1-1)5=1,

等式右边=a5+a4+a3+a2+a1+a0,

∴a0+a1+a2+a3+a4+a5=1. ①

(2)当x=-1时,

等式左边=[2×(-1)-1]5=-243,

等式右边=-a5+a4-a3+a2-a1+a0

∴a0-a1+a2-a3+a4-a5=-243. ②

(3)①+②得,

2a0+2a2+2a2=-242.

∴a0+a2+a4=-121.

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练习2

1.当x=2时,代数式ax3-bx+1的值等于-17,那么当x=-1时,代数式12ax-3bx3-5的值等于_________.

2.某同学求代数式10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1,当x=-1时的值时,?

该生由于将式子中某一项前的“+”号误看成“-”号,算得代数式的值为7,那么这位同学看错了几次项前的符号?

3.已知y=ax7+bx5+cx3+dx+e,其中a、b、c、d、e为常数,当x=2时,x=-2时,y=-35;那么e的值为( ).

A.-6 B.6 C.-12 D.12

例3 若xyz

??,求x+y+z的值.

c-a)

1

2.已知a=3b,c=5a,求

3.已知a?b?c的值. a?b?c113x?5xy?3y-=2,求的值. xy?x?3xy?y

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b?cc?aa?b??=0, abc

bc?b?cca?c?aab?a?b?? 求的值. b2c2c2a2a2b2 例4 若a+b+c=0,且

分析 先代入使a+b+c=0、=0成立的a、b、c的特殊值,如a=b=1,c=-2,可求得所求代数式的值为0,给出求值方向.下面我们来说明所求代数式的值为0.

解:由:a+b+c=0,两边同乘以abc,得:

a2bc+ab2c+abc2=0 ①

由b?cc?aa?b??=0,两边同乘以abc,得: abc

bc(b-c)+ac(c-a)+ab(a-b)=0,

即 a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=0. ②

①+②得:a2(bc+b-c)+b2(ac+c-a)+c2(ab+a-b)=0

两边同除以

bc?b?c?22bc 练习4

1.已知(

2.已知A=3]}.

3.如果无论x取什么值,代数式

例5 已知三个正数a、b、c满足abc=1,求ax?3(分母不为零)都得到同样的值,那么a与b?应满足什么条件? bx?4abc??的值. ab?a?1bc?b?1ac?c?1

分析 本题若直接通分,计算较复杂,考虑到abc=1,可将原式第二个分式的分子、分母同乘以a,第三个分式的分子、分母同乘以ab,达到通分的目的.

aababc?2+ ab?a?1abc?ab?aabc?abc?ab

aab1?=+ ab?a?11?ab?aa?1?ab解:原式=

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=a?ab?1=1. ab?a?1

练习5

1.若a、b为正数,且ab=1,求

2.已知a+ab?的值. a?1b?1111=1,b+=1,求c+的值. bca

3.若a、b、c、d是四个正数,且abcd=1,

求abc??? abc?ab?a?1bcd?bc?b?1cda?cd?c?1

答案:

练习1

1.xy2+xy.

22 原式=3x2y-[2xy2-2xy+22=3x2y-2xy+2xy-3x2y-xy+3xy=xy2+xy.

2.1 │+│1-x

=│1+1-x│

=│2-x│(因为2-x>0)

=2-x

∴原式=1.

3.当x<1111时,原式=-5x;当≤x<时,原式=x+2;当x≥时,原式=5x. 3322

111,、x=,把这两个零点标在数轴上,?可把数轴分为三部分,即x<-、323 用零点区间讨论法: 由3x+1=0、2x-1=0,得零点,x=-

-111≤x<、x≥,这样就可以分类讨论化简原式了. 322

1 当x<-时,原式=-(3x+1)-(2x-1)=-5x; 3

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11≤x〈时,原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2; 32

1 当x≥时,原式=(3x+1)+(2x-1)=5x. 2 当-

练习2

1.22.当x=2时,8a-2b+1=-17,即4a-b=-9;

当x=-1时,-12a+3b-5=-3(4a-b)-5=-3×(-9)-5=22.

2.5. 设看错的是x的n次项前的符号,那么他计算的代数式实际是

10x9+9x8+?+2x+1-2(n+1)xn,由题意得:

10×(-1)9+9×(-1)8+?+2×(-1)+1-2(n+1)(-1)n=7,

即(n+1)(-1)n=-6.

∴n=5.

3.A.当x=2时,27·a+25·b+23·c+2d+e=23 ①

当x=-2时,-27·a-25·b-23·c-2d+e=-35 ②

①+②得2e=-12,∴e=-6.选A.

练习3

1.1xyz?或-1.设==k,则: 2y?zx?zx?y

x=k(y+z

①+②+③得: 当x+y+z=02.-1919.c=5a=15b=-. 1111

111111.由-. 5xy53.-

练习4

1.3 由题意知x=3 原式=3xn+

21n-1x332.2y.原式=2A-{3B-[A+2B-2A]}

=2A-{3B-A-2B+2A}

=2A-3B+A+2B-2A

=A-B

=3x2-9xy+y2-(3x2-9xy-y2)=2y2.

3.4a=3b.因不论x取什么值,代数式ax?3的值都相同, bx?4

ax?33所以我们可以取x=0,得:=, bx?44

3即不论x取什么值,该代数式的值都为, 4

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再取x=1,得

故4a=3b.

练习5. ax?33=, bx?44

1

1b1b1.1.由ab=1得,a=,故原式=+=+=1. bb?1b?1b?11?b

1b?11b2.1.由题意知a=1-=,∴=. bbab?1

111 ∵=1-b,∴c==-. c1?bb?1

11b ∴c+=-+=1. ab?1b?1

3.1.利用abcd=1把它们化为同分母:

aadad??; abc?ab?a?1(abc?ab?a?1)dabd?ad?d?1

b?bcd?bc?b?1

ccda?ad?c?1 ∴原式=1.

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