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2007-08概率统计A卷试题及答案

发布时间:2014-05-15 13:39:21  

2007 – 2008学年第一学期《概率论与数理统计A》试卷答案

1.设P(A)?P(B)?p,且A,B至少有一个发生的概率为0.2,A,B至少有一个不发生的概率为0.6,则p? 0.3 .

解 已知P(AB)?0.2,P()?0.6,

0.2?P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?2p?P(AB),

一、填空题(每小题3分,满分21分,把答案填在题中横线上) 0.6?P()?1?P()?1?P(AB), P(AB)?0.4, p?0.3

2.11个人随机地围一圆桌而坐,则甲乙两人相邻而坐的概

率为 0.2 .

解 设A表示事件“甲乙相邻而坐”。

样本空间所包含的基本事件数为11!,事件A包含的基本事件数为11?2?9! P(A)?11?2?9!2??0.2 11

!10??x?? ?P3.设随机变量X~B(n,p),则对任意实数x,有limn??

?(x)?x

?t2dt. 2

4.设随机变量X与Y的方差和相关系数分别为D(X)?3,D(Y)?4,?XY?0,则

D(2X?Y?1)?

解 D(2X?Y?1)?D(2X?Y)

?D(2X)?D(Y)?2cov(2X,Y)

?4D(X)?D(Y)?4cov(X,Y)

?4D(X)?D(Y)?4?XY

=16

5.设X~N(0,1),1.96是标准正态分布的上0.025分位点,则P?X?1.96?? 0.975 .

解 1.96是标准正态分布的上0.025分位点,即P?X?1.96??0.025

P?X?1.96??1?P?X?1.96??1?0.025?0.975

6.设(X1,X2,

2n2,Xn)是来自总体N(?,?2)的样本,则当常数k?1时,n?1??k?(Xi?) 是参数?2的无偏估计量. i?1

7.设总体X~N(?,?2),(X1,X2,,Xn)是来自总体X的样本,为样本均值,S2为

样本方差,?2未知,若检验假设H0:???0,H1:??

?0~ t(n-1).

二、选择题(每小题3分,满分18分)

X与Y满足条件D(X?Y)?D(X)?D(Y),

则下面结论不成立的是( C )

(A)X与Y不相关. (B)E(XY)?E(X)E(Y). (C)X与Y相互独立. (D)cov(X,Y)?0.

??kcosx,|x|?,??22.设随机变量X的概率密度为f(x)?? 则k等于( B ) ??0,|x|?.??2

(A). (B). (C)0. (D)1. 1

412

3.某班12名战士各有一支归自己使用的枪,枪的外形完全一样,在一次夜间紧急集合中,每人随机地取了一支枪,则拿到是自己枪的人数的数学期望是( D )

(A)1. (B)0. (C)12. (D)1. 12

?1,第i个战士拿到自己的枪,i?1,2,解 设Xi??0,第i个战士没拿到自己的枪,?

设X表示拿到自己枪的人数.则X??Xi

i?112,12,则E(Xi)?1, 12

1?12?12

E(X)?E??Xi???E(Xi)??12?1 12?i?1?i?1

4.设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为FX(x)和FY(y),则随机变

量Z?max(X,Y)的分布函数为( A ) (A)FZ(z)?FX(z)FY(z).

(B)FZ(z)??1?FX(z)??1?FY(z)?.

(C)FZ(z)?1?FX(z)FY(z).(D)FZ(z)?FX(z)?FY(z).

5.设(X1,X2,,X10)是来自总体N(0,?2)的样本,则下面结论正确的是( C )

(A)(C)

1

?X

?k?1

2

10

2k

~?(9).

2

(B)?Xk2~t(9).

k?1

10

1

?

22

X~?(10). ?k2k?1

10

(D)?Xk2~t(10).

k?1

10

6.设总体X~N(?,?2),?为未知参数,样本X1,X2,,Xn的方差为S2,对给定的显著水平?,检验假设H0:?2?2,H1:?2?2的拒绝域是( B ) (A)?2??12?a/2(n?1). (C)?2??12?a/2(n).

1.一个系统中有三个相互独立的元件,元件损坏的概率都是0.2.当一个元件损坏时,系统发生故障的概率为0.25; 当两个元件损坏时,系统发生故障的概率为0.6; 当三个元件损坏时,系统发生故障的概率为0.95; 当三个元件都不损坏时,系统不发生故障. 求系统发生故障的概率. 解 设A表示“系统发生故障”的事件,

Bi表示“有i个元件发生故障”的事件,i?1,2,3;

(B)?2??12?a(n?1).

(D)?2??12?a(n).

三、计算题(每小题10分,满分50分)

由全概率公式 P(A)?P(B1)P(AB1)?P(B2)P(AB2)?P(B3)P(AB3) 由已知,P(AB1)?0.25,P(AB2)?0.6,P(AB3)?0.95

1

P(B1)?C3?0.2?0.82?0.384 ,P(B2)?C32?0.22?0.8?0.096 ,P(B3)?C330.23?0.008

所以P(A)?0.384?0.25?0.096?0.6?0.008?0.95?0.1612 2.设随机变量X的分布律为

XP0.2 a b

若E(X)?1,(1)求常数a , b; (2)求Y=X 2 的分布律.

解 (1)由 0.1?0.2?a?b?1,

E(X)??1?0.1?0?0.2?1?a?2?b=1,

解得a =0.3, b=0.4.

(2) Y=X 2的可取值为0,1,4.

P?Y?0??P?X?0??0.2,

P?Y?1??P?X??1?+P?X?1??0.1+0.3=0.4,

P?Y?4??P?X?2??0.4,

因此Y=X 2 的分布律为

YP 0.2 0.4 0.4

3.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

?Ax,0?x?y<1,f(x,y)?? 0,其他.?

(1)求常数A; (2)求关于X,Y的边缘概率密度函数;

(3)判断X与Y是否相互独立;(4)求P{X?Y?1}.

解(1)由??????f(x,y)dxdy?1,

有 1??0dy?0Axdx?

??????1yA,得A?6; 6(2)fX(x)=???f(x,y)dy,

当x?0或x?1时,fX(x)=0,

当0?x?1时,fX(x)??x6xdy?6x(1?x),

所以fX(x)???6x(1?x),0?x?1; 0其它.?1

?3y2,0?y?1;同理 fY(y)?? 0其它.?

(3)由f(x,y)?fX(x)fY(y),所以X与Y不相互独立

(4)P(X?Y?1)??06xdx?xdy?.

4.设随机变量X与Y相互独立,其概率密度分别为 1?x14

y?1?2?e,x?0;?e, fY(y)??2fX(x)??x?0.?0,??0,?xy?0; y?0.

求Z?X?Y的概率密度. 解法1 由卷积公式 fZ(z)????fX(x)fY(z?x)dx

?e

?0?xy?1?2x>0;?e fY(y)??2x?0.?0???因为fX(x)??y>0;

y?0.

?x 所以 fZ(z)????fX(x)fY(z?x)dx??0efY(z?x)dx

令t?z?x??ze

????ezt?z??????t?zfY(t)dt fY(t)dt

t?z当z?0时 fZ(z)????efY(t)dt?0

当z?0时 fZ(z)????efY(t)dt??0efZ(z)??????zzt?zzt?zzt1?2?z2edt?e(e?1), 2z??e?z(e2?1),z?0,fX(x)fY(z?x)dx??

?0,z?0.?

解法2 先求Z的分布函数FZ(z). 联合密度函数为

y?1?x?2?ee,x?0,y?0, f(x,y)?fX(x)fY(y)??2?0,其它,?

FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}?当z?0时, FZ(z)?

当z?0时, FZ(z)?x?y?z??f(x,y)dxdy x?y?z??f(x,y)dxdy?0, y1?x?2f(x,y)dxdy???eedxdy 2Dx?y?z??

??z

0zy?z?x?1?x?zedx?e2dy?e?2e2?1 02

z???z2?分布函数为 FZ(z)??e?2e?1,z?0

?0,z?0?

z??z2?再求导,得概率密度 fZ(z)?FZ?(z)??e(e?1),z?0,

?0,z?0.?

5.设(X1,X2,

解 设x1,x2,,Xn)是来自总体N(?,?2)的样本,求?和?2的最大似然估计量. ,xn,相应的样本观测值,则似然函数为

nL(?,?2)?i?1n

2?(xi??)22? ?1??1??exp??2??2??2??2??(xi??)2?

i?1n??

取对数,得

n1n2lnL(?,?)??(ln2??ln?)?2?(xi??)2 22?i?12

将lnL(?,?2)分别对?与?2求偏导数,并令其等于零, 得方程组 ??lnL1n?2?(xi??)?0????i?1 ? ?n?lnLn1???2?4?(xi??)2?02?2?2?i?1???

解此方程组,得到参数?和?2的最大似然估计值是

1n????xi?;???ni?1 ?n1??2??(x?)2.i?ni?1?

因此,?和?2的最大似然估计量是

1n????Xi?;???ni?1 ?n1??2??(X?)2.i?ni?1?

1.(6分)若P(A|B)?P(A|),试证P(B|A)?P(B|). 证明 因为 四、证明题(共2道小题,满分11分)

P(A|B)?P(AB)

P(B)

P()P(A?AB)P(A)?P(AB)P(A|)???P()1?P(B)1?P(B)

由 P(A|B)?P(A|),

P(AB)P(A)?P(AB)? P(B)1?P(B)所以得

P(AB)?P(B)P(AB)?P(A)P(B)?P(B)P(AB) ?P(AB)?P(A)P(B) 从而

即 P(AB)?P(A)P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(AB) P(AB)P()?P(A)P()

P(AB)P()? P(A)P()

所以P(B|A)?P(B|).

2.(5分)设(X1,X2,

n ,Xn)是来自总体N(0,1)的样本,证明P0??Xi2?2n?i?1?n?n?2. n证明 根据?2??Xi2~?2(n),且E(?2)?n,D(?2)?2n, 1

由切比雪夫不等式,有

P0??Xi2?2n?P?|?2?E(?2)|?n1?n??

D(?2)n?2. ?1??n2n

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