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暑假高中数学集训课程 代数导学第一部分

发布时间:2014-05-15 13:39:23  

清北学堂‐人生需要规划?高中更应如此??暑假数学集训课程代数导学?

代数‐‐‐‐三角函数与解三角形导学?

一、 基本知识点?

1. 正余弦函数的有界性?

对任意角度α,|sinα|≤1,|cosα|≤

1,

|Asinα+Bcosα|=α+φ)|=|α+θ)|≤,其中φ、θ

为常数,并且满足

cosφ=φ=θ=θ=?

2. 同角三角函数基本关系?

(1)sin2α+cos2α=1;(2)tanα=

secα=1sinα;(3)=cotαcosα11?,cscα=cosαsinα

3. 正弦函数、余弦函数以及正切函数图像性质?

?

清北学堂‐人生需要规划?高中更应如此??暑假数学集训课程代数导学?

4. 三角变换

(1)两角和与差的三角变换

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;?

cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ;?

tan(α±β)=tanα±tanβ;?1?tanαtanβ

(2)二倍角公式?

sin(2α)=2sinαcosα;?

cos(2α)=1?2sin2α=2cos2α?1=cos2α?sin2α;?

2tanα;?21?tanα

(3)半角公式

?tan(2α)=

α角度的取值范围);

?2α(具体符号看角度的取值范围);

?2(具体符号看α角度的取值范围);?22

αsinα1?cosα;?=tan=21+cosαsinα

(4)和差化积与积化和差公式

?tan=α

清北学堂‐人生需要规划?高中更应如此??暑假数学集训课程代数导学?

222222α+βα?βα+βα?βα+βα?β

+?sinα?sinβ=sin()?sin(=2cos()222222α+βα?βα+βα?βα+βα?β

+?cosα?cosβ=cos()?cos(=?2sin()222222α+βα?βα+βα?βα+βα?β

+?cosα+cosβ=cos()+cos()=2cos(cos(222222

1

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α?β)];?

21

cosαsinβ=[sin(α+β)?sin(α?β)];?

21

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α?β)];?

21

sinαsinβ=?[cos(α+β)?cos(α?β)];

2

(5)万能公式?

+

?

sinα+sinβ=sin(

α+βα?β

+sin(

α+βα?β

=2sin(

α+β

)cos(

α?β

sinα=2sin

α

2

cos

α

2

2sin=sin2

α

cos

α

=

2tan

α

;?

2

+cos2

2

1+tan2

2

cosα=cos2

α

2

?sin2

α

2

cos2=cos2

α?sin2+sin2

α=2

1?tan21+tan2

α;?2

2

2tan

tanα=

α

;?

2

5. 解三角形知识点

在ΔABC中,角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且R、r分别为ΔABC外接圆和内接圆的半径,S为ΔABC的面积,p为ΔABC的半周长(p=

a+b+c

)。?2

(1)正弦余弦定理 abc

===2R;?sinAsinBsinC

1?tan2

a2=b2+c2?2bccosA;?b2=a2+c2?2accosB;?c2=a2+b2?2abcosC;?

清北学堂‐人生需要规划?高中更应如此??暑假数学集训课程代数导学?

?

?(2)面积公式?abbcacS=sinC=sinA=sinB?222abc????=pr=4R

??

?=;海伦公式?

(3)一些补充结论?

a=bcosC+ccosB;?

b=acosC+ccosA;?

c=acosB+bcosA;?

sinA=sin(B+C),sinB=sin(A+C),sinC=sin(A+B);?

如果a>b,则A>B。反之也成立。?

二、 典型例题

sinxcosxππ在区间[?,]上的值域。

221+sinx+cosx例1.?求f(x)=

解析:令t=sinx+cosx=πsinx+cosx)=x+?224

ππ3π(x+∈[?

,,从而t∈[?。?444

又因为t2=(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,从而

t2?1

?1sinxcosxt?1f(x)===,t≠?1,从而f(x)∈(?1,。?1+sinx+cosx1+

t22

?

12例2.?函数f(x)=()cosx+cosx的定义域为R,求函数的值域。?2

111解析:令u=cos2x+cosx=(cosx+)2?,由于|cosx|≤1,所以?≤u≤2,?244

1211f(x)=(cosx+cosx=(u,那么f(x

)的值域为[。?224

例3.求∑cos[(2k+1)t],其中t为常数。?k=0n

解析:cos[(2k+1)t]sint=

那么cos[(2k+1)t]=

n1(sin[(2k+2)t]?sin2kt)?21(sin[(2k+2)t]?sin2kt),?2sint11sin[(2n+2)t?(sin[(2n+2)t]?sin0)=2sint2sint所以∑cos[(2k+1)t]=

k=0

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