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初二数学竞赛面积变化(含答案)

发布时间:2014-05-16 13:45:32  

初中数学竞赛专项训练(9)

(面积及等积变换)

一、选择题:

1、如图9-1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC与BD交于O,点P在AB的延长线上,且BP=CD,则图形中面积相等的三角形有

( )

A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 F

2、如图9-2,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点,连AF、CE,设AF、CE图9-2

S四边形AGCD交于点G,则等于 ( ) S矩形ABCD

A. 5 6B. 4 5C. 3 4D. 2 3

3、设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且

点E,使四边形DECB的面积为

1AD=,若在边AC上取一3AB3CE,则的值为 4EA( )

1111 A. B. C. D. 35244、如图9-3,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC、AB

为边,在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB,作

CK⊥AB,分别交AB和GH于D和K,则正方形ACEF

的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系是

( )

A. S1=S2 B. S1>S2

AC C. S1<S2 D. 不能确定,与的大小有关 AB

5、如图9-4,四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°, A AD=8,AB=7,则BC+CD等于

( )

A. 6 B. 53 C. 4 D. 3

图9-3 C 图9-4 B

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6、如图9-5,若将左边正方形剪成四块,恰能拼成右边的矩形,设a=1,则正方形的面积为 ( )

3?5?17?32 A. B. C. D. (1?2) 222图9-5

7、如图9-6,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥AM,E为垂足,则DE=( ) D

A. 2ab

4a?b22 B. ab4a?b

ab

a?4b2222 图9-6 C C. 2aba?4b22 D.

8、O为△ABC内一点,AO、BO、CO及其延长线把△ABC

分成六个小三角形,它们的面积如图9-7所示,则S△ABC=( ) A. 292 B. 315 图9-7 C. 322 D. 357

二、填空题

1、如图9-8,梯形ABCD的中位线EF的长为a,高为h,则

图中阴影部分的面积为___

2、如图9-9,若等腰三角形的底边上的高等于18cm,

腰上的中线等于15cm,则这个等腰三角形的面积

等于____

3、如图9-10,在△ABC中,CE∶EB=1∶2,DE∥AC,

若△ABC的面积为S,则△ADE的面积为_____

4、如图9-11,已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点,

且BD=4,DC=1,AE=5,EC=2。连结AD和BE,它们图9-9 E C 图9-8 图9-10 图9-11

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图9-12

相交于点P,过点P分别作PQ∥CA,PR∥CB,它们分别与边AB交于点Q、R,则△PQR的面积与△ABC的面积之比为_____

5、如图9-12,梯形ABCD中,AD∥BC,AD∶BC=2∶5,AF∶FD=1∶1,BE∶EC=2∶3,EF、CD延长线交于G,用最简单的整数比来表示,S△GFD∶S△FED∶S△DEC=_____

6、如图9-13,P是矩形ABCD内一点,若PA=3,PB=4,PC=5,则PD=____

三、解答题

1、如图9-14,在矩形ABCD中,E是BC上的

1

点,F是CD上的点,S△ABE=S△ADF=S矩形

3

ABCD。 求:

2、一条直线截△ABC的边BC、CA、AB(或它们的延长线)于点D、E、F。

BD

CEAF

???1 求证: DCEAFB

S?AEF

的值。 S?CEF

A

B

9-13

F

9-14

C

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3、如图9-16

ABCD中,P1、P2、

P3……Pn-1是BD的n等分点,连结AP2,并延长交BC于点E,连结APn-2并延长交CD于点F。

①求证:EF∥BD

3 ②ABCD的面积是S,若S△AEF=S,求n的值。 8

4、如图9-17,△ABC是等腰三角形,∠C=90°,O是△ABC内一点,点O到

△ABC各边的距离等于1,将△ABC绕点O顺时针旋转45°得到△A1B1C1,两三角形的公共部分为多边形KLMNPQ。

①证明:△AKL,△BMN,△CPQ ②求证:△ABC与△A1B1C1公共部分的面积。A1

图9-17 B E 图9-16 D

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数学竞赛专项训练(9)参考答案

一、选择题:

1、C。S?ABC?S?ABD,S?AOD?S?BOC,S?ACD?S?BCD,S?BCP?S?BCD,S?BCP?S?ACD 2、D。连结AC,有S?AGC:S?ABC?1:3,则

1112

S四边形AGCD?S?AGC?S?ACD??S矩形ABCD?S矩形ABCD=S矩形ABCD。

3223

31

3、B。如图联结BE,S?ADE=1??, 44

CE

?x,则S?ABE?1?x 设AC

1?x11?,x? S?AD? E

344

CE1

? B C EA3

4、A。解:S1?AC2,S2?AD?AG,因为Rt?ADC∽Rt?ACB,

所以

ADAC

?,即AC2?AD?AB,又因为AB=AG, ACAB

所以S1?AC2?AD?AG?S2,所以应选A。 5、B。解:如图延长AD,BC相交于E,在Rt△ABE

=14,于是DE=AE,AD=6,又BE=3,在可求得CD=2,CE=4,于是BC=BE-BC+CD=53。

A

C

中,可求得AERt△CDE中,CE=,

B

6、A。解:由右图与左图的面积相等,得b(b?a?b)?(a?b)2,已知a?1,所以有

b(2b?1)?(b?1),即b

(b?1)2?(

22

1?5

?b?1?0,解得b?

2

,从而正方形的面积为

3?27?35

)?。 22

AD?AB

?AM

ab1a2?(b)2

2

?

2ab4a?b

2

2

7、A。解:由△ADE∽△ABM,得DE=

8、B。

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S?ABOAOS?ACO84?y35?x?,即 ??4030S?BDODOS?CDO

S?ABOBOS?BCO84?y70?,即 ??x35S?BDEOES?CEO 又?x?70?4x?3y?112 ∴?,解之得? y?562x?y?84??

∴S△ABC=84+40+30+35+70+56=315。

二、填空题

11、S阴影=ah。解:延长AF交DC的延长线于M,则△ABF≌△MCF, 2

∴AF=FM,S△ABF=S△CMF。∴S阴影=S△DFM,∵AF=FM ∴S△ADF=S△MDF

11 ∴S阴影=S梯形ABCD ∵S梯形ABCD=ah,∴S阴影=ah。 22

1AD?9,2

在Rt△BMN中,BM=15,MN=9。∴BN=12,而BD=DC=2DN,∴3DN=12,DN

11=4,∴BC=16,S△ABC=AD·BC=×18×16=144。 22

23、S△ADE=S。解:∵CE∶EB=1∶2,设CE=k,则EB=2k,∵DE∥AC, 92、144。解:作MN⊥BC于N,∵AM=MC,MN∥AD,∴DN=NC。∴MN?

而BE∶BC=2k∶3k=2∶3,S?BDE42?()2,S△BDE=S 9s3

∵DE∥AC 4、S2ADCE11AD1??,?ADE??,则S△ADE= S△BDE=S 2BDBE29S?BDEBD2400CFCE2??,所以 。解:过点E作EF∥AD,且交BC于点F,则1089FDEA5

FD?PQBPBD55????CD?。因为PQ∥CA,所以5?27EABEBF44?5

7?28 33

于是PQ?140。因为PQ∥CA,PR∥CB,所以∠QPR=∠ACB, 33

因为△PQR∽△CAB故S?PQR

S?CAB?(PQ220400。 )?()2?CA331089

5、1∶2∶6。解:设AD=2,则BC=5,FD=1,EC=3

∵GF∶GE=FD∶EC=1∶3,GF∶FE=1∶2,S△GFD∶S△FED=GF∶FE=1∶2 显然有S△EFD∶S△CED=FD∶EC=1∶3,∴S△GFD∶S△FED∶S△CED=1∶2∶6。

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6、32。解:过点P作AB的平行线分别交DA、BC于E、F,过P作BC的平行线分别

交AB、CD于G、H。设AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d,则AP2?a2?c2,CP2=b2?d2,BP2?b2?c2,DP2?d2?a2,

于是AP2?CP2?BP2?DP2,故DP2?AP2?CP2?BP2?32?52?42?18,DP=32。

三、解答题

11112S矩形ABCD,得b?BE=ab。∴BE=a, 则EC=a。33323

11111同理FC=b,∴S?CEF=?a?b?ab。 323318

12 ∵S梯形AECD?(EC?AD)?CD?ab, 23

2115 ∴S?AEF?S梯形AECD-S?CEF-S?ADF=ab?a?ab?ab 318318

5abS?AEF5 ??。 1S?CEF1ab18

2、答案提示:连结BE、AD,并把线段之比转化为两三角形面积之比;再约分。 1、设BC=a,CD=b,由S?ABE?

3、解:①因AD∥BC,AB∥DC,所以?Pn?2FD∽Pn?2AB, ?P2BE∽P2DA 从而有APn?2BPn?2n?2AP2DP2n?2 ????Pn?2FPn?2D2P2EP2B2

即APn?2AP2 所以EF∥BD ?Pn?2FP2F

DF211?S,同理可证S?ABE?S ,所以S?AFD?ABn?2n?2n?2

DF2FCDC?DFDFn?4???1?? 显然,所以, DCn?2DCDCDCn?2

1n?423)S,已知S?AEF?S,所以有 从而知S?ECF?(2n?28 ②由①可知

311n?422(n?4)23S?()S,即1? S?S?2? ??28n?22n?2n?22(n?2)8

解方程得n=6。

4、证明:①连结OC、OC1,分别交PQ、NP于点D、E,根据题意得∠COC1=45°。 ∵点O到AC和BC的距离都等于1,∴OC是∠ACB的平分线。

∵∠ACB=90° ∴∠OCE=∠OCQ=45°

同理∠OC1D=∠OC1N=45° ∴∠OEC=∠ODC1=90°

∴∠CQP=∠CPQ=∠C1PN=∠C1NP=45°

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∴△CPQ和△C1NP都是等腰直角三角形。 ∴∠BNM=∠C1NP=45° ∠A1QK=∠CQP=45° ∵∠B=45° ∠A1=45° ∴△BMN和△A1KQ都是等腰直角三角形。 ∴∠B1ML=∠BMN=90°,∠AKL=∠A1KQ=90°

∴∠B1=45° ∠A=45°

∴△B1ML和△AKL也都是等腰直角三角形。

②在Rt△ODC1和Rt△OEC中,

∵OD=OE=1,∠COC1=45°

∴OC=OC1=2 ∴CD=C1E=2-1

∴PQ=NP=2(2-1)=22-2,CQ=CP=C1P=C1N=2(2-1)=2-2 1?(2?2)2?3?22 2

延长CO交AB于H

∵CO平分∠ACB,且AC=BC ∴S?CPQ?

∴CH⊥AB, ∴CH=CO+OH=2+1 ∴AC=BC=A1C1=B1C1=2(2+1)=2+2 ∴S?ABC?1?(2?2)2?3?22 2

∵A1Q=BN=(2+2)-(22-2)-(2-2)=2 ∴KQ=MN=

∴S?BMN?22=2 1?(2)2?1 2

∵AK=(2+2)-(2-2)-2=2 1?(2)2?1 2

?S多边形KLMNPQ=S?ABC-S?CPQ-S?BMN-S?AKL∴S?AKL?      =(3?22)-(3?22)?1?1        ?42?2

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