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竞赛辅导专题2:一元一次方程 ——逸学辅导中心

发布时间:2014-05-16 13:45:36  

逸学辅导中心——初一数学之一元一次方程

专题二:一元一次方程(2讲)

方程是中学数学中最重要的内容.最简单的方程是一元一次方程,它是进一步学习代数方程的基础,很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧.

用等号连结两个代数式的式子叫等式.如果给等式中的文字代以任何数值,等式都成立,这种等式叫恒等式.一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的.

如果给等式中的文字(未知数)代以某些值,等式成立,而代以其他的值,则等式不成立,这种等式叫作条件等式.条件等式也称为方程.使方程成立的未知数的值叫作方程的解.方程的解的集合,叫作方程的解集.解方程就是求出方程的解集.

只含有一个未知数(又称为一元),且其次数是1的方程叫作一元一次方程.任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式,这是一元一次方程的标准形式(最简形式).

解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项,化为最简形式ax=b;(5)方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解.

一元一次方程ax=b的解由a,b的取值来确定:

(2)若a=0,且b=0,方程变为0·x=0,则方程有无数多个解;

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(3)若a=0,且b≠0,方程变为0·x=b,则方程无解.

【基础训练】

例1. 已知方程2xm-3+3x=5是一元一次方程,则m= . 例2. 已知x??2是方程ax2-(2a-3)x+5=0的解,求a的值.

例3. 解方程2(x+1)-3(4x-3)=9(1-x).

1?1?1?x?1????3??5??7??1???8642???. 例4. 解方程 ???

4x?1.55x?0.81.2?x??0.50.20.1. 例5. 解方程

xxxx????1.6122030例6. 解方程

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例7、解方程

例8、方程2?3(x?1)?0的解与关于x的方程2x0.25?0.1x??0.1时,把分母化为整数,得 。 0.030.02k?x?3k?2?2x的解互为倒数,求k的值 。 2

例9.0.5x?0.1?2x?2. 0.2

【例题与提高】

例1 解方程:

【分析】用两种思路求解该方程:解法1 从里到外逐级去括号.

解法2 按照分配律由外及里去括号.

例2 已知下面两个方程: 3(x+2)=5x, ①

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4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②

有相同的解,试求a的值.

【分析】本题解题思路是从方程①中求出x的值,代入方程②,求出a的值.

例3 已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解.

例4 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0.

分析 这个方程中未知数是x,m,n是可以取不同实数值的常数,因此需要讨论m,n取不同值时,方程解的情况.

例5 解方程:(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2.

分析 本题将方程中的括号去掉后产生x2项,但整理化简后,可以消去x2,也就是说,原方程实际上仍是一个一元一次方程.

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例6 已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,求代数式

199(m+x)(x-2m)+m的值.

例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,试求a的值.

例8 k为何正数时,方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数?

来确定:

(1)若b=0时,方程的解是零;反之,若方程ax=b的解是零,则b=0成立.

(2)若ab>0时,则方程的解是正数;反之,若方程ax=b的解是正数,则ab>0成立.

(3)若ab<0时,则方程的解是负数;反之,若方程ax=b的解是负数,则ab<0成立.

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例12 已知关于x的方程:

且a为某些自然数时,方程的解为自然数,试求自然数a的最小值.

【强化练习】

1.解下列方程:

2.解下列关于x的方程:

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(1)a2(x-2)-3a=x+1;

4.当k取何值时,关于x的方程3(x+1)=5-kx,分别有:

(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于1的解.

1、(2001年湖南常德中考题)已知|3x?1|?2,则x?( ).

(A)1 (B)-1

3 (C)1或-1

3 (D)无解

2.(1996年“希望杯”赛题)若|x|?a,则|x?a|?( ).

(A)0或2a (B)x?a (C)a?x (D)0

3.(2001年重庆市竞赛题)若|2000x?2000|?20?2000.则x等于( . )

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(A)20或-21 (B)-20或21 (C)-19或21 (D)19或-21

5.(2000年山东省初中数学竞赛题)已知关于x的方程mx?2?2(m?x)的解满足|x?1|?1?0,则x的值是( ). 2

2222(A)10或 (B)10或- (C)-10或 (D)-10或- 5555

8.(2000年“希望杯”竞赛题)若a?0,则2000a?11|a|等于( ).

(A)2007a (B)-2007a (C)-1989a (D)1989a

14.解下列关于的方程:

cx?b(c?x)?a(b?x)?b(a?x)(a?c?0).

15.解关于x的方程:.

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