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第24届希望杯决赛试卷

发布时间:2014-05-19 13:50:00  

第24届“希望杯”全国数学邀请赛初二第二试

2013年4月15日 上午8:30至10:30

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。

1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人胶将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前,如图1所示,红丝带重叠部分形成的图形是( )

(A)正方形 (B)矩形 C)菱形 (D)梯形

2、设a、b、C是不为零的实数,那么x?a?|b|?c的值有( ) |a|b|c|

(A)3种 (B)4种 (C)5种 (D)6种

3、?ABC的边长分别是a?m?1,b?m?1,c?2m?m?0?,则?ABC是( ) 22

(A)等边三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)锐角三角形

4、古人用天干和地支记序,其中天干有10个;甲乙丙丁戊己庚辛壬癸,地支有12个;子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行;

甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁……

子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……

从左向右数,第1列是甲子,第2列是乙丑,第3列是丙寅……,我国的农历纪年就是按这个顺序得来的,如公历2007年是农历丁亥年,那么从今年往后,农历纪年为甲亥年的那一年在公历中( )

(A)是2019年, (B)是2031年, (C)是2043年, (D)没有对应的年号

5、实数 a、b、m、n满足a<b, -1<n<m, 若M?a?mb,N?a?nb, 1?m1?n

则M与N的大小关系是( )

(A)M>N (B)M=N (C)M<N (D)无法确定的。

6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形,若最大的正方形的边长是7cm,则正方形

A、B、C、D的面积和是( )

(A)14cm (B)42cm (C)49cm (D)64cm

2222

)图2

- 1 -

7、已知关于x的不等式组?

(A)?2a?3x?0恰有3个整数解,则a的取值范围是( ) ?3a?2x?023434343≤a≤ (B)≤a≤ (C)<a≤ (D)≤a< 32323232

8 、The number of intersection point of the graphs of function

y?|k| and function y?kx(k?0) is( ) x

(A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.

9、某医药研究所开发一种新药,成年人按规定的剂量限用,服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t(小时)之间的函数关系近似满足如图3所示曲线,当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效,则服药一次治疗疾病有效的时间为( )

(A)16小时 (B)15715小时 (C)15小时 (D)17小时 816

10、某公司组织员工一公园划船,报名人数不足50人,在安排乘船时发现,每只船坐6人,就剩下18人无船可乘;每只船坐10人,那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满,参加划船的员工共有( )(A)48人 (B)45人 (C)44人 (D)42人

二、填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)

11、已知a?b?co 为?ABC三边的长,则化简|a?b?

c

12、自从扫描隧道显微镜发明后,世界上便诞生了一间新科学,这就是“纳米技术”,已知1毫米微米,1微米纳米,那么2007纳米的长度用科学记数法表示为__米。

13、若不等式组??2x?a?1中的未知数x的取值范围是?1?x?1,那么(a?1)(b?1)的值等__. x?2b?3?

?a2006)(a2?a3??a2007),14、已知a1?a2?a3?…?a2007是彼此互不相等的负数,且M?(a1?a2?

N?(a1?a2??a2007)(a2?a3??a2006)那么M与N的大小关系是M__N

ab15、∣|叫做二阶行列式,它的算法是:ad?bc,将四个数2、3、4、5排成不同的二阶行列式,则cd

不同的计算结果有__个,其中,数值最大的是___。

- 2 -

16、如图4,一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬,木板底端距离墙角0。7米,当

小猫从木板底端爬到顶端时,木板底端向左滑动了1.3米,木板顶端向下滑动了0.9

米,则小猫在木板上爬动了__米。

17、Xiao Ming says to Xiao Hua that my age add your age.add your age when Lwas your age

is 48.The age of Xiao Hua is __ now.

(英汉词典:age年龄:add 加上;when 当……时)

18、长方体的长、宽、高分别为正整数a?b?c,且满足a?b?c?ab?bc?ac?abc?2006,那么这个长方体的体积为__。

19、已知a

为实数,且a?

1?都是整数,则a的值是__。 a

20、为确保信息安全,信息传输需加密,发送方由明文→密文(加密)。现规定英文26个字母的加密规则是:26年字母按顺序分别对应整数0到25,例子如,英文a?b?c?d,写出它们的明文(对应整数0,1,2,3),然后将这4个字母对应的整数(分别为x1.x2,x3,x4)按x1?2x23x3x1?2x1?3x1计算,得到密文,即abcd四个字母对应的密文分别是2.3.8.9.现在接收方收到的密文为35.42.23.12.则解密得到的英文单词为___。

三、解答题(本大题共3小题,共40分)要求:写出推算过程

21、(本题满分10分)

如图5,一个大的六角星形(粗实线)的顶点是周围六个全等的小六角星形(细线型)的中心,相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点,如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a,求:

(1)

(2)

(3) 大六角星形的顶点A到其中心O的距离 大六角星形的面积 大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值

(注:本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的)

- 3 -

22、(本题满分15分)

甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地,再返回A地,图6表示两车离A地的距离s(千米)随时间t(小时)变化的图象,已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回。请根据图象中的数据回答:

(1)甲车出发多长时间后被乙车追上?

(2)甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇?

(3)甲车从A地返回的速度多大时,才能比乙车先回到A地?

23、(本题满分15分)

平面上有若干个点,其中任意三点都不在同一直线上,将这些点分成三组,并按下面的规则用线段连接:①在同一组的任意两点间都没有线段连接;②不在同一组的任意两点间一定有线段连接。

(1) 若平面上恰好有9个点,且平均分成三组,那么平面上有多少条线段?

(2) 若平面上恰好有9个点,且点数分成2,3,4三组,那么平面上有多少条线段?

(3) 若平面上共有192条线段,那么平面上至少有多少个点?

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参考答案

一、选择题(每小题4分)

二、填空题(每小题4分,第15小题,每个空2分;第19小题,答对一个答案2分)

三、解答题

21(1)连接CO,易知△AOC是直角三角形,?ACO?90,?AOC?30

所以AO?2AC?2a

(2)如图1,大六角星形的面积是等边△AMN面积的12倍 因为AM?(

2

AM22a2)?() 解得AM? 22所以大六角星形的面积是S?12?1?a?2

2

(3)小六角星形的顶点C到其中心A的距离为a,大六角星形的顶点A到其中心O的距离为2a,所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍,所以,大六角星形的面积:六个小六角星形的面积和=2:3

22.(1)由图知,可设甲车由A地前往B地的函数解析式为s?kt

将(2.4,48)代入,解得k?20 所以s?20t

由图可知,在距A地30千米处,乙车追上甲车,所以当s?30千米时,

- 5 -

s30??1.5(小时)。即甲车出发1.5小时后被乙车追上 2020

(2)由图知,可设乙车由A地前往B地函数的解析式为s?pt?m t?

?0?p?m?p?60将(1.0,0)和(1.5,30)代入,得?,解得? 30?1.5p?mm??60??

所以s?60t?60

当乙车到达B地时,s?48千米。代入s?60t?60,得t?1.8小时

又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为s??30t?n

将(1.8,48)代入,得48??30?1.8?n,解得n?102

所以s??30t?102

当甲车与乙车迎面相遇时,有?30t?102?20t

解得t?2.04小时 代入s?20t,得s?40.8千米

即甲车与乙车在距离A地40.8千米处迎面相遇

(3)当乙车返回到A地时,有?30t?102?0 解得t?3.4小时

甲车要比乙车先回到A地,速度应大于48?48(千米/小时) 3.4?2.4

23.(1)平面上恰好有9个点,且平均分成三组,每组3个点,其中每个点可以与另外两组的6个点连接,共有线段6?9?27(条) 2

(2)若平面上恰好有9个点,且点数分成2,3,4三组,则平面上共有线段

1[2?(3?4)?3?(2?4)?4?(2?3)]?26(条) 2

(3)设第一组有a个点,第二组有b个点,第三组有c个点,则平面上共有线段

1[a(b?c)?b(a?c)?c(a?b)]?ab?bc?ac(条) 2

若保持第三组点数不变,将第一组中的一个点划归到第二组,则平面上线段的条数为

(a?1)(b?1)?(b?1)c?(a?1)c?ab?bc?ca?a?b?1

与原来线段的条数的差是a?b?1,即

当a?b时,a?b?1?0,此时平面上的线段条数不减少

当a?b时,a?b?1?0此时平面上的线段条数一定减少

由此可见,当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时,平面上的线段条数不减少,所以当三组中点数一样多(或基本平均)时,平面上线段的条数最多

设三组中都有x个点,则线段条数为3x?192 解得x?8

所以 平面上至少有24个点

2

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