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2013希望杯七年级第一试

发布时间:2014-05-20 13:42:49  

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛

初一 第1试试题

2013年3月17日 上午8:30至10:00

一、选择题(每小题4分,共40分)

3??1????1??31.计算:?( ) 3??2?1

A.?1 B.1 C.2 D.3

解析:计算。原式=—2÷2=—1,答案为A。

2.已知图1是图2中正方体的表面的展开图,其中有五个面内标注了数字,则图2中涂有阴影的面在图1中标注的数字是( )

A.2 B.3 C.4 D.5

解析:正方体侧面展开图。 标有数字1和3的面相对,标有数字2和4的面相对,标有数字5和有半圆的面相对。答案为D。

图1999100010013.若a?,b?,c?,则( )

图2

201120122013

A.a?b?c B.b?c?a C.c?b?a D.a?c?b 解析:分数大小比较。

方法一:观察,三个分数的分子与分母差相等,找一个标准作为参考。a?1-1012,2011

10121012101210121012??,c?1-,因为,所以a<b<c。 201120122013201220139991000方法二:两两比较。<,因为999+2012=2011+1000,所以999×2012<2011×1000。 20112012

10001001同理可得<,所以答案为A。 20122013b?1-

2324.若x?3x?2?0,则x?x?4x?10的值是( )

A.6 B.8 C.10 D.12

解析:多项式计算。

解法一:x2—3x+2=(x—1)(x—2)=0,所以x=1或x=2,将x=1带入计算x3—x2—4x+10=1-1-4+10=6。

解法二:降幂,整体代入法。x3—x2—4x+10=x(x2—3x+2)+2(x2—3x+2)+6=6(因为x2—3x+2=0)答案为A。

5.If the middle one of three consecutive odd number is n,then their product is( )

3333A.6n?6n B.4n?n C.n?4n D.n?n

(英语小词典:consecutive 连续的;product 乘积;middle 中间的;odd number 奇数) 解析:乘法公式。

(n-2)n( n+2)=n(n2-4)=n3-4n,答案为C。

6.在△ABC中,?A??C?2?B,2?A??B?2?C,则△ABC是( )

1

A.锐角且不等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析:三角形内角和和解方程。

∠A+∠C=2∠B,∠A+∠B +∠C =3∠B,∠B=60°,∠A =2∠B-∠C,2(2∠B-∠C)+∠B=2∠C,所以5∠B=4∠C,∠C=75°,∠A=180°-60°-75°=45°,所以△ABC为锐角且不等边三角形。

7.图3是某市人口结构的扇形图,据此得到以下四个结论,其中正确的是

( ) 1999年2000年

A.2000年该市的人口数和1999年时一样 B.2000年20岁以下年龄段的人口数量减少 C.2000年20岁到40岁年龄的人口保持不变 D.该市人口趋于老龄化 解析:扇形统计图是指各部分量占总量的百分比,题目没有告诉1999年和

图32000年的人口总数,所以A、B、C都错,人口老龄化是指总人口中因年轻

人口数量减少、年长人口数量增加而导致的老年人口比例相应增长的动态。

答案为D。

8.有理数a、b、c、d满足a?b?0?c?d,并且b?c?a?d,则a?b?c?d的值( )

A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.与0的大小关系不确定 解析:a?d,a?d>0,b?c,b?c>0,所以a+b+c+d>0。

9.A、B两地相距60千米,甲、乙两人驾车(匀速)从A地驶向B,甲的时速为120千米,乙的时速为90千米,如果乙比甲早出发6分钟,则当甲追上乙以后,乙再经过( )分钟可以到达B.

A.25 B.20 C.16 D.10

解析:转化单位,甲速度120÷60=2km/min,乙速度90÷60=1.5km/min,乙走完全程需要60÷1.5=40分钟,

当甲追上乙用了(6×1.5)÷(2-1.5)=18分钟,所以乙再经过40-6-18=16分钟可以到达B。答案为C

10.如图4,数轴上的六个点满足AB=BC=CD=DE=EF,则在点B、C、D、E对应的数中,最接近?10的点是( )

A.点B B.点C C.点D D.点E 解析:每两个点之间相差(-4+13)÷5=1.8,点B、C、D、E对应的数分别是

-11.2、-9.4、-7.6、-5.8,最接近?10的点是C,答案为B。 图4

二、A组填空题(每小题4分,共40分)

11.天文学中,1光年是光在一年内走过的距离.已知光速约为每秒30万千米,一年按365天计算,那么1光年换成以米为长度单位,用科学记数法表示应为 米.(保留三位有效数字)

解析:30×104×103×365×24×60×60=9.4608×1015≈9.46×1015米。

12.从1到2013这2013个自然数中,与21互质的数共有

解析:21=3×7,一个数与21互质,则它既不是3的倍数,也不是7的倍数。题目相当于求1~2013中,不是3或7的倍数的数有多少个。[2013÷3]=671,[2013÷7]=287,[2013÷21]=95,2013-(671+287-95)=1150个

2

13.已知2x?y??7,3x?2y?0,则xy?.

解析:3∣x∣+2y=0, 2y<0,3∣x∣>0,或x=y=0,不合题意,所以y<0。

当x<0

时,原绝对值方程组转化为 2x+y=-7

-3x+2y=0

解之得x=-2,y=-3,所以xy=6;

当x>0时,原绝对值方程组转化为 2x+y=-7

3x+2y=0

解之得x=-14,y=21,不合题意,所以xy=6。 14.如图5,ABCD和DEFG都是正方形,面积分别为9平方厘米和13平方厘米,点G在线段AB上.则△CDE的面积是平方厘米.

解析:如图,将三角形DAG绕点D逆时针旋转90度,得到三 角形DEH,根据正方形直角关系,可知C、D、E共线。

CD=AD=DH,所以S△CDE=S△DEH=S△DAG。 正方形ABCD和DEFG面积分别为9平方厘米和13平方厘米,所以AD=3厘米,AG=?9=2厘米。 S△CDE =S△DAG=2×3÷2=3平方厘米。

15.If the product of all digits(数字)of a six-digit number is 1296,among such six-digit numbers(六位数),the smallest is .

解析:1296=24×34,六个一位数的乘积是1296,且要这个六位数最小,要求从最高位尽量小,

1×1×2×8×9×9=1296,所以答案为112899。

16.如图6,射线OC、OD、OE、OF分别平分?AOB、?COB、?AOC、?EOC.若?FOD?24?,则?AOB?.

解析:根据题意,∠AOB可看做8份,∠FOC是1份,∠COD是2份,所以∠FOD是3

份,

∠AOB=24°÷3×8=64°

17.爸爸,妈妈,小慧、小弟,这四人今年的年龄之和是99岁,爸爸比妈妈大4岁,小慧比小弟大3岁,9年前,他们的年龄之和为65岁,由以上条件可知今年爸爸 岁. 解析:99-65=34<4×9=36,所以9年前弟弟没有出生,弟弟今年9-(36-34)=7岁,小慧今年7+3=10岁,所以爸爸妈妈年龄和是99-7-10=82岁,爸爸今年(82+4)÷2=43岁。

18.m个连续自然数之和为35(m?1), 则m的所有可能取的值之和为 解析:35=17+18,35不是3的倍数(奇数个连续自然数的平均数为中间数),m不能取3,35是奇数,所以m不能取4(4个连续自然数,两奇两偶,和为偶数),35=5+6+7+8+9,35不是3的倍数,m不能取6,35=2+3+4+5+6+7+8,m的所有可能取的值之和为2+5+7=14。

323219.已知当x?1时,3ax?bx?2cx?4?8,并且ax?2bx?cx?15??14,那么,图6

32当x??1时,5ax?5bx?4cx?2019的值时.

解析:根据题意,3a+b-2c=4;a+2b-c=1,求-5a-5b+4c+2019的值,只需求出-5a-5b+4c的值。 根据观察(3a+b-2c)×(-1)+(a+2b-c)×(-2)=-5a-5b+4c,所以-5a-5b+4c+2019=-4+1×(-2)+2019=2013。

或令(3a+b-2c)m+(a+2b-c)n=-5a-5b+4c,根据对应系数,可得关于m,n的方程组,求

3

出m,n得解。

20.小光家的电话号码是八位数,它的前四位数字相同,后五位数字是连续的一位自然数,电话号码的数字和等于它的最后两位数,那么,这个电话号码是 . 解析:根据题意,后五位数字是连续的一位自然数,是递减的,如果递增,电话号码的数字和不可能等于它的最后两位数。简单枚举,99998765,88887654,77776543,66665432,55554321,显然符合题意的是88887654。

解法二,明白后五位数字是连续的一位自然数,是递减,设各位为n, 则数字和=n+n+1+n+2+ n+3+(n+4)×4=8n+22 后两位数为10(n+1)+n=11n+10

所以8n+22=1n+10,n=4。所以答案为88887654。

三、B组填空题(每小题8分,共40分)

21.已知:直线AB与直线CD交于点O,?BOC?45?,

(1)如图7,若EO?AB,则?DOE? .

(2)如图8,若EO平分?AOC,则?DOE? . 解析:(1)∠DOE=45°+90°=135° (2)∠DOE=45°+(180°-45°)÷2=112.5°

7

8

22.如果四个不同的质数的和为37,那么这样的四个质数乘积的最大值是最小值是 .

解析:注意唯一偶质数2,四个不同的质数的和为37,则必有2。 37=2+3+13+19=2+5+7+23=2+5+11+19=2+5+13+17=2+7+11+17

根据和定,差小积大,四个质数乘积的最大值为2×7×11×17=2618,最小值为2×3×13×19=1482。

23.如图9,已知C、D是线段AB上的两点,且AC?

11

AB,BD?BC,图中33

A

图9

一共有 条线段;若所有线段的长度的总和为31,则AD= .

解析:线段有1+2+3=6条。

1122124

AB,BD=×AB=AB,CD=(1--)AB=AB, 3339399

4

所有线段的长度的总和相当于AB+(AB+CD)+AB=3 AB,

9

414

所以AB=31÷3=9,AD=9×(+)=7。

939

AC=

24.如图10,在△ABC中,AB和AC被四条平行于BC的线段分成了五等分,如果△ABC

的面积是S,则阴影部分②与④的面积的和是 ;小三角形①与中间的梯形③的面积的和是 .

解析:如右图,设S△ADH=1,则S△DHI=1(等底同高)

图10

11

S△DEI= S△ADI=2(等底同高) ;S△EIJ= S△AEJ=×(1+1+2)=2(倍底同高)

22

11

S△EFJ= S△AEJ=×(1+1+2+2)=3 …

22

4

所以阴影三角形从上往下面积依次是1,2,3,4,5,空白三角形从上往下面积依次是1,2,3,4。

所以S△ABC=15+10=25,原图中阴影部分②与④的面积的和是

原图中小三角形①与中间的梯形③的面积的和是1?2?3?42S=S; 2551?2?36S=S。 2525

??xy?z?94

25.若整数x,y,z满足方程组?,则xyz? 或 . ??x?yz?95

解析:解法一:两式相减x+yz-(xy+z)=x(1-y)+z(y-1)=(x-z)(1-y)=1

x、y、z是整数,所以x-z=1,1-y=1或x-z=-1,1-y=-1

当x-z=1,1-y=1,y=0,所以xyz=0;

当x-z=-1,1-y=-1,y=2,将y代入xy+z=94得2x+z=94,联立x-z=-1求解,x=31,z=32,所以xyz=2×31×32=1984。

解法二:两式相加,x+yz+(xy+z)=x(1+y)+z(y+1)=(x+z)(1+y)=189

189=1×189=3×63=7×27=9×21,分情况代入求解,但情况复杂些。

附加题(每小题10分,共20分)

1.2013名同学在操场上排成一个长方阵,小明站在第一排的最左边,小聪在最后一排的最右边,如果左右相邻或前后相邻的两名同学传递一张纸条需要5秒钟,那么,小明将手中的纸条传给小聪至少需要 秒.

解析:小明将手中的纸条传给小聪至少要经过长方形长与宽上的人,2013=3×671=11×

183=33×61 ,小明将手中的纸条传给小聪至少经过33+61-1-1=92人,至少需要92×5 =460 秒.

2.已知右表内每一横行中从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m,各竖列中从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n,则m?n? ,xy?zu?

解析:根据表格,m=(18-12)÷2=3,n=(27-12)÷3=5,所以m+n=8

显然y=12-5+3=10,z=12-5-3=4,u=27+3=30,x=27-5-2×3=16

所以xy+zu=16×10+4×30=280。

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