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希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题

发布时间:2013-09-27 17:35:15  

希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题

一、选择题,以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的.

1.设x0是方程1?x??x?0的一个不为1的根,则[ ] 2

2222A.x0>2x0>x0. B.x0>x0>2x0. C.x0>2x0>x0. D.2x0>x0>x0

2.设a是一个满足下列条件的最大的正整数,使得用a除64的余数是4;用a除155的余数是5;用a除187的余数是7.则a属于集合 [ ]

A.{3,4,6}; B.{7,8,9}; C.{10,15,20}; D.{25,30,35}

3.某位同学在代数变形中,得到下列四个式子:

?1?x;(2)当x=?2时,分式x?2

x?x?62的值均为0;

(3)分解因式:xn+1-3xn+2xn-1=xn·x-3xn+xn×2n?=x?x?3?x?2??; x?

(4)99972=(99972-32)+9=(9997+3)(9997-3)+9=99940009.

其中正确的个数是 [ ]

A.1个. B.2个. C.3个 D.4个.

4.A,B,C,D,E,F六个足球队进行单循环赛,当比赛进行到某一天时,统计出A,B,C,D,E五队已分别比赛了5,4,3,2,1场球,由此可知,还没有与B队比赛的球队是[ ]

A.C队 B.D队. C.E队 D.F队

5.如图31,已知等边△ABC的周长为6,BD是AC边的中线,E为BC延长线上一点,CD=CE,那么△BDE的周长是 [ ]

6.如图32,在△ABC中,AD是∠A的外角平分线,P是AD上异于A的任意一点,设PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,则m+n与b+c的大小关系是 [ ]

A.m+n>b+c. B.m+n=b+c . C.m+n<b+c. D.m+n>b+c或m+n<b+c

7.两个全等的直角三角形(不等腰)纸片,可以拼成n个不同形状的四边形,则n的值为

[ ] A.3. B.4. C.5. D.6.

8.四边形的四条边长分别是a,b,c,d,其中a,c为对边,且满足a+b+c+d=2ab+2cd,则这个四边形一定是 [ ] 2222

A.两组角分别相等的四边形. B.平行四边形.

C.对角线互相垂直的四边形. D.对角线长相等的四边形.

9.已知a,b,c为三个连续奇数(a<b<c=,且它们均为质数,那么符合条件的三数组(a,b,c)有 [ ]

A.0 组. B.1组. C.2组. D.多于2组.

10.在边长为的正方形内有任意5个点(包括落在四条边上),将其中任意两点与正方形中心连结成三角形,则其中至少有一个三角形的面积S满足[ ] A.S?111; B.S?; C.S?; D.S?1. 222

二、填空题

1. 计算:1995×19941994+1996×19951995-1994×19951995-1995×19961996=______.

2. 直角三角形的周长是

,斜边的中线长为1,则它的面积为____________.

32223.若x+2是多项式x+x+ax+b的一个因式,且2a+3ab+b?0,则分式

ab2?4a3?b3?4a2b 的值为_______. 222a?3ab?b

4.设[x]表示不大于x的最大整数,如???=3,

??????=____. 5.如图33,在菱形ABCD中,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,则∠CEF的大小是_____.

6.若△ABC的三条边a,b,c满足关系式:a4+b2c2-a2c2-b4=0,则△ABC的形状是_____.

7.若不等式3xa≤0的所有正整数解的和是15,则a的取值范围是_____.

8.如图34,△ABC中,AB>AC,AH⊥BC,M为AH上异于A的一点,比较AB-AC与MB-MC的大小,则AB-AC_____MB-MC(填“>”,“=”或“<”=.

9.方程x2-y2=1995的正整数解共有_____组.

10.设x,y是不大于10的自然数,x除以3的余数记为f(x),y除以4的余数记为g(y).当f(x)+2g(y)=0时,x+2y的最值是_____.

三、解答题

1.(1)已知a1,a2,a3为三个整数,且a1≤a2≤a3,三个数中的每一数均为其它两数的乘积,求所有满足条件的三数组(a1,a2,a3).

(2)如果a1,a2,a3,a4,a5,a6为6个整数,且a1≤a2≤a3≤a4≤a5≤a6,六个数中任一个数均为其它五个数中某四个数的乘积,那么满足上述条件的数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)共有多少组?请说明理由.

2.一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A,B,C,D,E,F,G的风景点(如图35).现要开设一些公共汽车线路,满足以下条件:

(a)由每个风景点可不换车到达其它任一风景点.

(b)每条汽车线路只连结3个风景点.

(c)任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点.

(1)该旅游区应开设几条公共汽车线路?

(2)若风景点,,在一条线路上,则该公共汽车线路写成A—B—C.

试写出该旅游区完整的公共汽车线路图.

答案·提示

一、选择题

提示:

2.据题意,a可整除60,150,180.故a是60,150,180的最大公约数,a=30,选(D).

3.显然①式不成立;在②式中,当x=-2时,分母为0,故②式不成立;当x=0时,③式不成立;只有④式成立.故选(A).

4.每个队分别与其它队比赛一场,最多赛5场,A队已经赛完5场,则每个队均与A队赛过,E队仅赛一场(即与A队赛过),所以E队还没有与B队赛过.选(C).

5.△ABC的周长为6,∴AB=BC=AC=2,DC=CE=1,又∠ACB=∠CDE+∠CED

∴∠CED=30°,△BDE为等腰三解形,DE=BD=

6.如图36,在BA的延长线上取AF=AC,连接PF,在△APC和△APF中,AC=AF, ∠CAP=∠FAP,AP=AP.

∴△APC≌△APF,PC=PF

∴m+n=BP+PC=BP+PF>BF

=BA+AF=BA+AC=c+b.故选(A).

7.如图37,可拼成4个不同的四边形,故选(B).

8.由已知得(a-b)+(c-d)=0.∴a=b,c=d.如图38,四边形是由两个同底等腰三角形拼接而成,故两条对角线互相垂直,故(C).

9.3,5,7是三个连续奇数,且均为质数,∴3,5,7为符合条件的三数组,若a>3且a为质数,则a可分为被3除余1或2的两类.

若a=3m+1,m为自然数,则b=a+2=3m+3为合数.

若a=3m+2,m为自然数,则c=a+4=3m+6也是合数,故当a>3时,没有符合条件的三数组,故选(B).

角形中,根据抽屉原则,则至少有一个三角形中有两个点.那么这两个点与正方形中心连成的三角形 22

二、填空题

提示:

1.1995×19941994+1996×19951995-1994×19951995-1995×1961996

=1995×1994×10001+1996×1995×10001-1994×1995×10001-1995×1996×10001=0

2.Rt△ABC斜边上的中线长为1,∴斜边

3.∵x+2是多项式x3+x2+ax+b的一个因式,根据余数定理知,f(-2)=0.即

(-2)3+(-2)2-2a+b=0,∴b-2a=4.

∴原式=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19+10=625

5.如图40,连接AC,在△ABE和△ACF中AB=AC,∠B=60°=∠ACF,∠BAE=∠CAF=60°-∠EAC

∴△ABE≌△ACF,AE=AF,又∠EAF=60°

于是可知△AEF是等边三角形,∠AEF=60°,∠CEF=∠CEA-∠AEF,∠CEA=∠B+∠BAE=80°,∴∠CEF=20°.

6.将a4+b2c2-a2c2-b4=0因式分解得

(a+b)(a-b)-c(a-b)=0

即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0

∴a2-b2=0或a2+b2-c2=0

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

2222222

即15≤a<18

8.∵AH⊥BC,有AB2=AH2+BH2,AC2=AH2+HC2

∴AB-AC=BH-HC

又MH⊥BC,同理有MB-MC=BH-HC

∴AB-AC=MB-MC.

即(AB+AC)(AB-AC)=(MB+MC)(MB-MC)

又M点在△ABC内,∴AB+AC>MB+MC

则AB-AC<MB-MC

9.由x-y=1995得(x+y)(x-y)=1995,其中x+y,x-y分别为1995的两个约数,且x+y>x-y,又1995=3×5×7×19,所以1995的正约数的个数有2×2×2×2=16个,共可分成8组,即:

22222222222222

10.x除以3的余数有三种,即余0,余1,余2.

y除以4的余数有四种,即余0,余1,余2,余3.

当f(x)+2g(y)=0时,只有f(x)=0且g(y)=0,

∴ x最大取9,y最大取8,x+2y的最大值是25.

三、解答题

1.(1)由题意知a1=a2a3,a2=a1a3,a3=a1a2,三式相乘得a1a2a3=(a1a2a3)2

∴a1a2a3=0或a1a2a3=1

即a2

1=0或a2

1=1

∴a1=0或a1=1或a1=-1

当a1=0时,a2=a3=0

当a1=1时,a2=a3=1

当a1=-1时,a2=-1,a3=-1

∴共有三个这样的三数组(0,0,0),(1,1,1),(-1,-1,-1).

(2)取a1,a2,a3,a4,a5,a6的绝对值并按大小顺序排列,不妨设为0≤b1≤b2≤b3≤b4≤b5≤b6,则b1,b2,b3,b4,b5,b6也满足题意要求.

①若b1=0,则b2,b3,b4,b5,b6中至少有一个为0,即b2=0.由于b1=b2=0,∴b3=b4=b5=b6=0,∴a1=a2=a3=a4=a5=a6=0

②若b1≠0,则b1=b2b3b4b5或b1=b3b4b5b6≥b2b3b4b5

∴b1≥b2b3b4b5

又b6=b2b3b4b5或b6=b1b2b3b4≤b2b3b4b5

∴b1=b2=b3=b4=b5=b6,b1=b1,b1=1即a1,a2,a3,a4,a5,a6的绝对值均为1,它们只能是+1或-1.

i)a1=a2=a3=a4=a5=a6=1符合条件.

ii)若a1,a2,a3,a4,a5,a6中有-1,则最少有2个-1,最多有5个-1.

即(-1,-1,1,1,1,1),(-1,-1,-1,1,1,1),(-1,-1,-1,-1,1,1),(-1,-1,-1,-1,-1,1)均符合条件.

∴符合条件的数组共有6组.

2.(1)应开设7条公共汽车线路.

由A点至其它6个风景点,其中每条汽车线路只能连续除A点外的2个不同的风景点,所以经过

4

(2)7条公共汽车线路如下:

A—B—C,A—E—G,A—D—F,B—D—E,B—F—G,C—D—G,C—F—E(注:答案不唯一). 从几何图形考虑(图41),将A,B,C看作三角形的三个顶点,D,E,F分别为三角形三边的点,且AD,BE,CF相交于一点G,再作DEF的外接圆,这样7条线路也就连成了. A—G—D,A—F—B,A—E—C,B—D—C,B—G—E,C—G—F,D—E—F.

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