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小学奥林匹克竞赛——找出数列的排列规律-

发布时间:2013-09-28 09:01:34  

找出数列的排列规律(一)

找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法,在解数学题时人们也常常使用它,下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。

(一)思路指导

例1. 在下面数列的( )中填上适当的数。

1,2,5,10,17,( ),( ),50

例2. 自1开始,每隔两个整数写出一个整数,这样得到一个数列:

1,4,7,10??

问:第100个数是多少?

例3. 已知一列数:2,5,8,11,14,??,44,??,问:44是这列数中的第几个数?

试试看:数列7,11,15,??195,共有多少个数?

- 1 -

例4. 观察下面的序号和等式,填括号。

序号

1

2

3

4 等式 1?2?3?63?5?7?155?8?11?24 7?11?15?33

?????

( )

( )+( )+7983=( )

综上所述,括号里应填的数是:

(1996) (3991)+(5987)+7983=(17961)

例5. 已知数列1,4,3,8,5,12,7,16,??,问:这个数列中第1997个数是多少?第2000个数呢? 分析与解:从整体观察不容易发现它的排列规律,注意观察这个数列的单数项和双数项,它们各自的排列规律为:

单数项:1,3,5,7,??

双数项:4,8,12,16,??

显然,它们各自均成等差数列。

为了求出这个数列中第1997个数和第2000个数分别是多少,必须先求出它们各自在等差数列中的项数,其中:

第1997个数在等差数列1,3,5,7,??中是第?(1997?1)?2??999个数;

第2000个数在等差数列4,8,12,16,??中是第?2000?2??1000个数。

所以,第1997个数是1??999?1??2?1997。

第2000个数是4??1000?1??4?4000

(二)尝试体验

1. 按规律填数。

(1)1,2,4,( ),16;

(2)1,4,9,16,( ),36,49;

(3)0,3,7,12,( ),25,33;

(4)1,1,2,3,5,8,( ),21,34;

(5)2,7,22,64,193,( )。

2. 数列3,6,9,12,15,??,387共有多少个数?其中第50个数是多少?

3. 有数组(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),??,求第100组的三个数之和。

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4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数,请将它们找出来:

(1)6,12,3,27,21,10,15,30,??;

(2)2,3,5,8,12,16,23,30,??。

找出数列的排列规律(二)

这一讲我们利用前面学习的等差数列有关知识和找规律的思想方法,解决数学问题。

(一) 例题指导

例题1、如果按一定规律排出的加法算式是3+4,5+9,7+14,9+19,11+24,??,那么第10个算式是( )+( );第80个算式中两个数的和是多少?

分析与解:

第一个加数如下排列:3,5,7,9,11??,这是一个等差数列,公差是2,第二个加数排列如下: 4,9,14,19,24,??,这也是一个等差数列,公差是5。

根据等差数列的通项公式可以分别求出第10个算式的两个加数。

3??10?1??2?21

4??10?1??5?49

所以第10个算式是21?49。

要求第80个算式的和,只要求出第80个算式的两个加数,再相加即可,当然也可以找一找和的规律。 想一想:第几个加法算式中两个数的和是707?

例2. 有一列数:1,2,3,5,8,13,??,这列数中的第200个数是奇数还是偶数?

例3. 下面的算式是按某种规律排列的:1+1,2+3,3+5,4+7,1+9,2+11,3+13,4+15,1+17,?? 问:(1)第1998个算式是( )+( );

(2)第( )个算式的和是2000。

例4. 将1到200的自然数,分成A、B、C三组:

A组:1 6 7 12 13 18??

B组:2 5 8 11 14 17??

C组:3 4 9 10 15 16??

- 3 -

根据分组的规律,请回答:

(1)B组中一共有( )个自然数;

(2)A组中第24个数是( );

(3)178是( )组里的第( )个数。

(二)尝试体验

1. 如下图所示,黑珠、白珠共102个,穿成一串,这串珠子中,最后一个珠子是( )颜色的,这种颜色的珠子共有( )个。

○●○○○●○○○●○○○??

2. 有红、白、黑三种纸牌共158张,按5张红色,后3张白色,再4张黑色的次序排列下去,最后一张是( )色,第140张是( )色。

3. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯,小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯,小明想,第73盏一定是( )色灯。

4. 下面的算式是按一定的规律排列的:4+2,5+8,6+14,7+20??,那么,第100个算式的得数是( )。

5. 找规律,按规律填数。

1?3?1?4?2?2??第1式

3?5?1?16?4?4??第2式

5?7?1?36?6?6??第3式

??

25?27?1?(

??)?()?()??第13式

(

()?()?()?1?()?1?()?100?100??第50式)?()?()??第60式

1

23

456

78910

?????? 6. 自然数按一定规律排成下表形式,问:第30行第5个数是多少?

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历届希望杯有关数列的题

(2003年第1届小学希望杯1试)

1、观察1、2、3、6、12、23、44、x 、164的规律,可知x =______ 。

(2003年第1届小学希望杯2试)

2、观察右面的五个数:19、37、55、a 、91排列的规律,推知a=________ 。

(2004

年第2届小学希望杯1试)

3、如图,用火柴棍摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当N=5时,按这种方式摆下去,当N=5时,共需要火柴棍根。

(2004年第2届小学希望杯2试)

4、3+12、6+10、12+8、24+6、48+4、……是按一定规律排列的一串算式,其中第六个算式的计算结果是。

(2005年第3届小学希望杯1试)

5、从1开始的奇数:1,3,5,7,……其中第100个奇数是_____。

(2005年第3届小学希望杯1试)

6、从1开始的前2005个整数的和是______数(填:“奇”或“偶”)。

(2005年第3届小学希望杯2试)

7、1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1=________。

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(2005年第3届小学希望杯2试)

8、1,3,5,7,……是从1开始的奇数,其中第2005个奇数是________。

(2006年第4届小学希望杯1试)

9、观察下列算式:

2+4=6=2×3,

2+4+6=12=3×4

2+4+6+8=20=4×5

……

然后计算:2+4+6+……+100=_________。

(2007年第5届小学希望杯2试)

10、 一群小猴上山摘野果,第一只小猴摘了一个野果,第二只小猴摘了2个野果,第三只小猴摘了3个野果,依次类推,后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后,每只小猴分得8个野果。这群小猴一共有_________只。

(2008年第6届小学希望杯1试)

11、(2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011)÷2008=__________

(2008年第6届小学希望杯2试)

12、已知一列数:5,4,7,1,2,5,4,3,7,1,2,5,4,3,7,1,2,5,4,3,……,由此可推出第2008个数是________。

(2009年第7届小学希望杯 1试)

13、计算:1÷50+2÷50+……+98÷50+99÷50=_________。

(2009年第7届小学希望杯2试)

14、计算:1-3+5-7+9-11+13-……-39+41=_________。

- 6 -

(2010

年第8届小学希望杯1试)

15、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放:第1个图形中有6个小圈,第2个图形中有10个小圈,第3个图形中有16个小圈,第4个图形中有24个小圈,…,依此规律,第6个图形中有___________个小圈。

(2011年第9届小学希望杯1试)

16、计算:1+11+21+31+……+1991+2001+2011=_________。

(2012年第10届小学希望杯1试)

17.小兰将连续偶数2、4、6、8、10、12、14、16、…逐个相加,得结果2012.验算时发现漏加了一个数,那么,这个漏加的数是_______。

1.【答案】从第5个数开始,每一个数是前4个数的和,所以X=6+12+23+44=85

2.【答案】19+18=37,37+18=55,所以a=55+18=73

3.【答案】找规律3,3+6,3+6+9…,N=5时,需要火柴棍3+6+9+12+15=45

4.【答案】规律是,第一个加数每一个都是前面的两倍,第二个加数是公差为2的等差数

列,所以第六个式子是96+2=98

5.【答案】199

6.【答案】1+2+3+…+2004+2005=(1+2005)×2005÷2=1003×2005是奇数

7.【答案】1+2+3+…+n+…+3+2+1=n×n,所以原式=10×10=100

8.【答案】2×2005-1=4009

9.【答案】等式右边第一个乘数等于等式左边加数的个数,100以内的偶数有50个,所

以2+4+6+……+100=50×51=2550

10.【答案】平均每只猴分8个野果,所以最后一只猴摘了8×2-1=15只果,共有15只猴.

11.【答案】2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=2008×7,所以原式= 2008×7÷2008=7

12.【答案】观察数列发现,除前两个数字之外7,1,2,5,4,3,六个数字周期出现,

因为(2008-2)÷6=334…2,所以第2008个数是1。

13.【答案】原式=(1+2+3+…+98+99)÷50=(1+99)×99÷2÷50=99

14.【答案】原式=(41-39)+(37-35 )+…+(5-3)+1=2+2+…+2+1=2×10+1=21

15.【答案】:除周围4个小圆外,中间小圆的规律是1×2,2×3,3×4,……,第6个

图有6×7+4=46个小圆.

16.【答案】原式=(1+2011)×202÷2=2012×101=203212.

17.【答案】最接近2012且比2012大的偶数和为2+4+6+…+90=(2+90)×45÷2=2070,

所以2070-2012=58就是漏掉的数。

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