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初一数学竞赛培训___相交线与平行线

发布时间:2014-05-21 13:45:09  

初一数学竞赛培训 相交线与平行线

例题精讲

例1.如图(1),直线a与b平行,∠1=(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,

求∠3的度数。

解:∵ a∥b,

∴ ∠3=∠4(两直线平行,内错角相等)

∵ ∠1+∠3=∠2+∠4=180°(平角的定义) ∴ ∠1=∠2 (等式性质) 则 3x+70=5x+22 解得x=24 即∠1=142°

∴ ∠3=180°-∠1=38° 图(1) 评注:建立角度之间的关系,即建立方程(组),是几何计算常用的方法。 例2.已知:如图(2), AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D =192°,

∠B-∠D=24°,求∠GEF的度数。 解:∵AB∥EF∥CD

∴∠B=∠BEF,∠DEF=∠D(两直线平行,内错角相等) ∵∠B+∠BED+∠D =192°(已知) 即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°

∴2(∠B+∠D)=192°(等量代换) 图(2) 则∠B+∠D=96°(等式性质) ∵

∴∠B=60°(等式性质) 即∠BEF=60°(等量代换) ∵EG平分∠BEF(已知) ∴∠GEF=

B-∠

D=24

°

G

)A

F

1

∠BEF=30°(角平分线定义) 2

图(3)

1

例3.如图(3),已知AB∥CD,且∠B=40°,∠D=70°,求∠DEB的度数。

解:过E作EF∥AB

∵ AB∥CD(已知)

∴ EF∥CD(平行公理)

∴ ∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°(两直线平行,内错角相等)

∵ ∠DEB=∠DEF-∠BEF

∴ ∠DEB =∠D-∠B=30°

评注:证明或解有关直线平行的问题时,如果不构成“三线八角”,则应添出辅助线。

填写推理理由

1.如图11,∠5=∠CDA =∠ABC,∠1=∠4,∠2=∠3,∠BAD+∠CDA=180°,

填空:

∵∠5=∠CDA(已知)

∴ // ( )

∵∠5=∠ABC(已知)

∴ // ( )

∵∠2=∠3(已知)

∴ // ( ) ∵∠BAD+∠CDA=180°(已知)

∴ // ( )

∵∠5=∠CDA(已知),又∵∠5与∠BCD互补( ) ∠CDA与 互补(邻补角定义)

∴∠BCD=∠6( )

∴ // ( )

2.如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.将求∠AGD的过程填写完整.

解: 因为EF∥AD,

所以∠2=____(____________________________)

又因为∠1=∠2

所以∠1=∠3(______________)

所以AB∥_____(_____________________________)

CD3GBE2

A

所以∠BAC+______=180°(___________________________) 因为∠BAC=70° 所以∠AGD=_______. 3.填写推理理由

(1) 已知:如图,D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,DE∥AB,DF∥AC 试说明∠FDE=∠A

解:∵DE∥AB( )

∴∠A+∠AED=180 ( ) ∵DF∥AC( )

∴∠AED+∠FED=180 ( ) ∴∠A=∠FDE( ) (2) 如图AB∥CD ∠1=∠2,∠3=∠4,试说明AD∥BE 解:∵AB∥CD(已知)

∴∠4=∠_____( )

00

A

FE

B

D C

∵∠3=∠4(已知)

∴∠3=∠_____( ) ∵∠1=∠2(已知)

B

CE

∴∠ 1+∠CAF=∠2+∠CAF( ) 即 ∠_____ =∠_____( ) ∴∠3=∠_____

∴AD∥BE( ) (2)如图17,BD是∠ABC的平分线,ED∥BC,∠FED=∠BDE,则EF也是 ∠AED的平分线。完成下列推理过程: ∵ BD是∠ABC的平分线,(已知)

∴ ∠ABD=∠DBC( ) ∵ ED∥BC(已知)

∴ ∠BDE=∠DBC( ) ∴ ∠ABD=∠BDE(等量代换),又∵∠FED=∠BDE(已知) ∴ EF∥BD( ), ∴ ∠AEF=∠ABD( )

3

F

B

∴ ∠AEF=∠FED( ), 所以EF是∠AED的平分线(角平分线的定义) 4.如图所示,请填写下列证明中的推理依据.

(1)已知,如图,?BAE??AED?180,?M??N 试说明:?1??2 解:∵ ∠BAE+∠AED=180( ) ∴ ____ ∥______ ( ) ∴ ∠BAE= __________ ( ) 又 ∵ ∠M=∠N ( )

∴ ____ ∥______ ( ) ∴ ∠MAE= ( ) ∴ ∠BAE-∠MAE= ______ - ______ 即 ∠1=∠2( ) (2)证明:∵∠A=∠C(已知),

∴AB∥CD(_____________ ______)

∴∠ABO=∠CDO(_________________________) 又∵DF平分∠CDO,BE平分∠ABO(已知) ∴∠1=

C N

2

A

1

B

M

E

D

11

∠CDO,∠2=∠ABO(_________________________) 22

∴∠1=∠2,∴DF∥BE(_____________________________________________)

解答与证明

1.已知,AB∥CD,分别探讨四个图形中∠APC,∠PAB,∠PCD的关系,请你从所得四个关系中任选一个加以证明(10分)

P

A

P

B

A

B

A

P

C

(1)

B

A

BC

D

P(4)

CD

(2)

DC

(3)

D

4

2.已知:如图,AB∥CD,求证:∠B+∠D+∠F=∠E+∠G

3. 如图1,MA1∥NA2,则∠A1+∠A2=______________________度。

如图2,MA1∥NA3,则∠A1+∠A2+∠A3=________________________度。

如图3,MA1∥NA4,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=_____________________度。 如图4,MA1∥NA5,则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=________________度。 从上述结论中你发现了什么规律?

如图5,MA1∥NAn,则∠A1+∠A2+∠A3+??+∠An=_________________度。

4、如图,若∠1=∠2,∠C=∠D,问∠A与∠F有什么关系?并说明理由.

DE

F

AB

5、如图,若∠DEC+∠ACB=180°,∠1=∠2,CD⊥AB,试问FG与AB垂直吗?说明理由.

A

D

G

BF

6、如图,已知AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分线相交于F,∠E = 140o,求∠BFD的度数.

A

FBE

C

D

5

7.如图AB∥CD,∠NCM=90°,∠NCB=30°,CM平分∠BCE,求∠B的大小(10分)。

E

C

DN

MA

B

8.对于同一平面的三条直线,给出下列5个论断, ①a∥b②b∥c③a⊥b④a∥c⑤a⊥c以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题(8分) 已知: 结论 理由:

9.如图已知∠1=∠2,再添上什么条件,可使AB∥CD成立(至少写出四组条件,其中每一组条件均能使AB∥CD成立)?并说明理由(10分)

10.如图,已知CB?AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠EDC+∠ECD =90°, 求证:DA?AB

第 10题

6

EA

1

F

C

M

BD

N

11.如图,直线EF和AB、CD分别相交于K、H,且EG⊥AB,∠CHF=60o,∠E=30o,

试说明AB∥CD.

12.如图,直线AB、CD与EF相交于点G、H,且∠EGB=∠EHD.

(1)说明: AB∥CD

(2)若GM是∠EGB的平分线,FN是∠EHD的平分线,则GM与HN平行吗?说明理由

13.如图,∠CDA=∠CBA,DE平分∠CDA,BF平分∠CBA,且∠ADE=∠AED. 试说明DE∥FB.

14.如图,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,且∠1+∠2=90°.试说明CD∥AB.

7

15.(本题12分)实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.

(1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且?1=38o,则?2=_______o,?3_______o.

(2)在(1)中,若?1=55,则?3_______o;若?1=40,则?3=_______o. oo

(3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a、b的夹角?3_______o时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行.你能说明理由吗?

答案:(1)76,90 (2)90,90 (3)90

8

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