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中考数学竞赛讲座及练习 第16讲 应用问题解题技巧

发布时间:2014-05-22 08:15:24  

第十六讲 应用问题解题技巧

应用问题是中学数学的重要内容.它与现实生活有一定的联系,它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系,形成数学问题.应用问题涉及较多的知识面,要求学生灵活应用所学知识,在具体问题中,从量的关系分析入手,设定未知数,发现等量关系列出方程,获得方程的解,并代入原问题进行验证.这一系列的解题程序,要求对问题要深入的理解和分析,并进行严密的推理,因此对发展创造性思维有重要意义.下面举出几个例题,略述一下解应用问题的技能和技巧.

1.直接设未知元

在全面透彻地理解问题的基础上,根据题中求什么就设什么是未知数,或要求几个量,可直接设出其中一个为未知数,这种设未知数的方法叫作直接设未知元法.

例1 某校初中一年级举行数学竞赛,参加的人数是未参加人数的3倍,如果该年级学生减少6人,未参加的学生增加6人,那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1.求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数.

说明 本例若按所求量次序设参加人数为x人,则未参加人数为

些麻烦。

例2 一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件,若他每天多做10个,则提前41x,这样产生分数,会给计算带来某31天完成,若他2

每天少做5个,则要误期3天,问他要做多少个零件?定期是多少天?

例3 一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的旅客人数相等.起初每辆汽车乘了22人,结果剩下1人未上车;如果有一辆汽车空着开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少名旅客?

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注意 解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性,并根据情况做具体讨论.

2.间接设元

如果对某些题目直接设元不易求解,便可将并不是直接要求的某个量设为未知数,从而使得问题变得容易解答,我们称这种设未知数的方法为间接设元法.

例4 若进货价降低8%,而售出价不变,那么利润可由目前的p%增加到(p+10)%,求p.

例5 甲乙两人沿着圆形跑道匀速跑步,它们分别从直径AB两端同时相向起跑.第一次相遇时离A点100米,第二次相遇时离B点60米,求圆形跑道的总长.

3.设辅助元

有时为了解题方便,可设某些量为辅助量,参与列方程和运算,最后把这些辅助量约去,得出要求的值.

例6 从两个重量分别为m千克和n千克,且含铜百分数不同的合金上,切下重量相等的两块,把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后,两者含铜百分数相等,问切下的重量是多少千克?

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例7 甲乙两邮递员分别从A,B两地同时以匀速相向而行,甲比乙多走了18千米(km),相遇后甲走4.5小时到达B地,乙走8小时到A地,求A,B两地的距离.

练习二十一

1.已知甲、乙、丙三人.甲单独做一件工作的时间是乙丙两人合作做这件工作所用时间的a倍,乙独做这件工作是甲丙两人合作做这件工作的b倍.求丙单独做这件工作是甲乙两人合作做这件工作所需时间的几倍?

2.有甲乙两容量均为20升(L)的容器,甲容器内装满纯酒精,而乙为空容器.自甲内倒出若干酒精于乙内,再将乙其余部分注满水,将此混合溶液注满甲容器,最后自甲容器回注入乙容器62/3升,则两容器内所含纯酒精量相等,问第一次自甲容器倒出多少酒精?

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3.某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后,再以每小时15千米的速度走平路到B地,共用了55分钟.回来时他以每小时8千米的速度通过平路后,以每小时4千米的速度上坡,从B地到A地共用了11/2小时,求地面上A,B两地相距多少千米?

4.有一块长方形的场地,长比宽多4米,周围有一条宽2米的道路环绕着,已知道路的面积和这块土地的面积相等.求这块场地的周长是多少米?

5.一个四位数是奇数,它的千位数字小于其他各位数字,十位数字等于千位数字和个位数字之和的2倍,求这个四位数.

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