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中考数学竞赛讲座及练习 第9讲 “设而不求”的未知数

发布时间:2014-05-22 08:15:24  

第九讲 “设而不求”的未知数

让我们先看一道简单的数学题.

例1 一个直角三角形的周长是2?6,斜边上的中线长是1,求这个三角形的面积.

所谓“设而不求”的未知数,又叫辅助元素,它是我们为解决问题增设的一些参数,它能起到沟通数量关系,架起连接已知量和未知量的桥梁作用.

例2若

例3 已知p,q,r都是5的倍数,r>q>p,且r=p+10,试求

例4 若使xyz??, 求x+y+z的值. a?bb?cc?a(p?q)(p?r)的值 q?rn?13为可约分数,则自然数n的最小值应是多少? 5n?6

例5甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29,23,21和17,这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少?

说明 此题不必求出a,b,c,d的值,只须比较一下,找出最大者与最小者是谁,作差即可求解.

例6 设有n个数x1,x2,?,xn,它们的值只能是0,1,2三个数中的一个,如果记

222 f1?x1?x2?x3???xn,f2?x12?x2?x3???xn

试用f1和f2表示fk?x1?x2?x3???xn

1 kkkk

例7 设自然数62427为99的倍数,试求?,?

例8 我手中的卡片上写有一个三位数,并且个位数不为零,现将个位与百位数字对调,取两数的差(大数减小数),将所得差的三位数与此差的个位、百位数字对调后的三位数相加,最后的和是多少?

在列方程解应用题中,更是经常用到增设参数的方法,下面再举几个例题.

例9 从两个重量分别为12千克(kg)和8千克,且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块,把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起,熔炼后两个合金含铜的百分数相等.求所切下的合金的重量是多少千克?

说明 在解含参数的方程时,一般情况下可以把参数消去,转化成只含有待求未知数的一般方程,也就是说应用题的解答与参数的数值无关.

例10 某队伍长1998米(m),在行进中排尾的一个战士因事赶到排头,然后立即返回,当这个战士回到排尾时,全队已前进1998米,如果队伍和这个战士行进的速度都不改变,求这个战士走过的路程.

说明 在同一个问题中,由于考虑问题的角度不同,所以增设的参数也会有所不同(如上例中的两种解法).

练习九

2

字),又N是4的倍数,且N被11除余5,那么x+y等于多少?

4.五个人要完成某项工作,如果甲、乙、丙三人同时工作需6小时;甲、丙、戊三人同时工作需3小时;甲、丙、丁三人同时工作需7.5小时;乙、丙、戊同时工作,需用5小时,问五个人同时工作需用多少小时完成?

5.公共汽车每隔x分钟(min)发车一次,小红在大街上行走,发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车,而每隔4

则x为多少?

132分钟迎面驶来一辆公共汽车,如果公共汽车与小红行进的速度都是匀速的,7

3

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