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中考数学竞赛讲座及练习 第12讲 平行线的问题

发布时间:2014-05-22 08:15:26  

第十二讲 平行线问题

平行线是我们日常生活中非常常见的图形.练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段.

正因为平行线在生活中的广泛应用,因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识.

正因为平行线在几何理论中的基础性,平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象.历史上关于平行公理的三种假设,产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何),它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用.

现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何,它是建立在这样一个公理基础之上的:“在平面中,经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行”.

在此基础上,我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理.下面我们举例说明这些知识的应用.

例1 如图 1-18,直线a∥b,直线 AB交 a与 b于 A,B,CA平分∠1,

CB平分∠ 2,求证:∠C=90°

说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立, 即“两条直线a,b被直线AB所截(如图1-20所示),CA,CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线,若∠C=90°,问直线a与直线b是否一定平行?”

由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置),因此,不妨模仿原问题的解决方法来试解.

例2 如图1-21所示,AA1∥BA2 ,求∠A1-∠B1+∠A2.

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说明(1)从证题的过程可以发现,问题的实质在于AA1∥BA2,它与连接A1,A2两点之间的折线段的数目无关,如图1-23所示.连接A1,A2之间的折线段增加到4条:A1B1,B1A2,A2B2,B2A3,仍然有

∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2.

(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即

∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.

进一步可以推广为

∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+?-∠Bn-1+∠An=0.

这时,连结A1,An之间的折线段共有n段A1B1,B1A2,?,Bn-1An(当然,仍要保持 AA1∥BAn).

推广是一种发展自己思考能力的方法,有些简单的问题,如果抓住了问题的本质,那么,在本质不变的情况下,可以将问题推广到复杂的情况.

(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下,变成一个新问题.

问题1 如图1-24所示.∠A1+∠A2=∠B1,问AA1与BA2是否平行?

问题2 如图1-25所示.若

∠A1+∠A2+?+∠An=∠B1+∠B2+?+∠Bn-1,问AA1与BAn是否平行?

这两个问题请同学加以思考.

例3 如图1-26所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°,求∠C.

说明(1)运用平行线的性质,将角集中到适当位置,是添加辅助线(平行线)的常用技巧.

(2)在学过“三角形内角和”知识后,可有以下较为简便的解法:∠1=∠DFC=∠C+∠2,即

∠C=∠1-∠2=2∠2=50°.

例4 求证:三角形内角之和等于180°.

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说明 事实上,我们可以运用平行线的性质,通过添加与三角形三条边平行的直线,将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论.如将平角的顶点设在某一边内,或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处,不过,解法将较为麻烦.同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法.

例5 求证:四边形内角和等于360°.

说明(1)同例3,周角的顶点可以取在平面内的任意位置,证明的本质不变.

(2)总结例3、例4,并将结论的叙述形式变化,可将结论加以推广:

三角形内角和=180°=(3-2)×180°,

四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°.

人们不禁会猜想:

五边形内角和=(5-2)×180°=540°,

??????????

n边形内角和=(n-2)×180°.

这个猜想是正确的,它们的证明在学过三角形内角和之后,证明将非常简单.

(3)在解题过程中,将一些表面并不相同的问题,从形式上加以适当变形,找到它们本质上的共同之处,将问题加以推广或一般化,这是发展人的思维能力的一种重要方法.

例6 如图1-29所示.直线l的同侧有三点A,B,C,且AB∥l,BC∥l.

求证: A,B,C三点在同一条直线上.

思考 若将问题加以推广:在的同侧有n个点A1,A2,?,An-1,An,

且有AiAi+1∥l(i=1,2,?,n-1).是否还有同样的结论?

例7 如图1-30所示.∠1=∠2,∠D=90°,EF⊥CD.求证:∠3=∠B.

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练习十二

1.如图1-31所示.已知AB∥CD,∠B=100°,EF平分∠BEC,EG⊥EF.

求∠BEG和∠DEG.

2.如图1-32所示.CD是∠ACB的平分线,∠ACB=40°,∠B=70°,DE∥BC.

求∠EDC和∠BDC的度数.

3.如图1-33所示.AB∥CD,∠BAE=30°,∠DCE=60°,EF,EG三等分∠AEC.问:EF与EG中有没有与AB平行的直线,为什么?

4.证明:五边形内角和等于540°.

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5.如图1-34所示.已知CD平分∠ACB,且DE∥AC,CD∥EF.求证:EF平分∠DEB.

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