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中考数学竞赛讲座及练习 第11讲 线段与角

发布时间:2014-05-22 08:15:32  

第十一讲 线段与角

线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念,这两个概念在日常生活中有着广泛的应用. 如:

(1)小明做作业需要买一些文具.在他家的左边200米处有一家文具店,他从家出发向文具店走去,走到一半发现忘了带钱,又回家取钱买了文具后回到家中.问小明共走了多长的路程?

(2)在高层建筑中,一般都设有电梯,人们上楼一般都乘坐电梯,你想过吗,设计电梯与线段的什么性质有关?

(3)钟表是大家熟悉的计时工具,你可曾观察过在2点到3点之间什么时候时针与分针重合?什么时候时针与分针成90°角?

我们还可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题,不少问题很有趣,也颇费脑筋,对于留心观察、勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好机会.

例1 已知:AB∶BC∶CD=2∶3∶4,E,F分别是AB和CD的中点,且EF=12厘米(cm),

求AD的长(如图1-6).

例2 在直线l上取 A,B两点,使AB=10厘米,再在l上取一点C,使AC=2厘米,M,N分别是AB,AC中点.求MN的长度(如图1-

7).

线段的最基本性质是“两点之间线段最短”,这在生活中有广泛应用.前面所提到的高层建筑所设电梯的路线,就是连接两层楼之间的线段,而楼梯的路线则是折线,电梯的路线最短.

例3 如图1-8所示.在一条河流的北侧,有A,B两处牧场.每天清晨,羊群从A出发,到河边饮水后, 折到B处放牧吃草.请问, 饮水处应设在河流的什么位置,从A到B羊群行走的

路程最短?

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例4 将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段,以这5小段为边可以围成一个五边形.问其中最长的一段的取值范围.

例5 若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7,求这个角的邻补角.

例6 若时钟由2点30分走到2点50分,问时针、分针各转过多大的角度?

例7时钟里,时针从5点整的位置起,顺时针方向转多少度时,分钟与时针第一次重合(图1-11)?

说明 钟表里的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追击问题非常相似.行程问题中的距离相当于这里的角度;行程问题中的速度相当于这里时(分)针的转动速度.

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下面再看一例.

例8 在4点与5点之间,时针与分针在何时 (1)成120°(图1-12); (2)成90°(图1-13).

说明 由于时针与分针所成角依时针与分针的“前”“后”次序有两种情况,因此,按两针夹角情况会出现一解或两解.

练习十一

1.如图1-14所示.B,C是线段AD上两点,M是AB的中点,N是CD的中点.若MN=a,BC=b,求AD.

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2.如图1-15所示.A2,A3是线段A1A4上两点,且A1A2=a,A1A3=a,A1A4=a.求线段A1A4上所有线段之和.

3

3.如图1-16所示.两个相邻墙面上有A,B两点,现要从A点沿墙面拉一线到B点.问应怎样拉线用线最省?

4.互补的两角之差是28°,求其中一个角的余角.

5.如图1-17所示.OB平分∠AOC,且∠2∶∠3∶∠4=2∶5∶3.求∠2,∠3,∠4.

6.在晚6点到7点之间,时针与分针何时成90°角?

7.在4点到6点之间,时针与分针何时成120°角?

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