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中考数学竞赛讲座及练习 第5讲 方程组的解法

发布时间:2014-05-22 08:15:34  

第五讲 方程组的解法

二元及多元(二元以上)一次方程组的求解,主要是通过同解变形进行消元,最终转化为一元一次方程来解决.所以,解方程组的基本思想是消元,主要的消元方法有代入消元和加减消元两种,下面结合例题予以介绍.

?2x?3y?4z??7? 例1 解方程组 ?x?4y2y?3z ??2?2?3

说明 本题解法中,由①,②消x时,采用了代入消元法;解④,⑤组成的方程组时,若用代入法消元,无论消y,还是消z,都会出现分数系数,计算较繁,而利用两个方程中z的系数是一正一负,且系数的绝对值较小,采用加减消元法较简单.

解方程组消元时,是使用代入消元,还是使用加减消元,要根据方程的具体特点而定,灵活地采用各种方法与技巧,使解法简捷明快.

?x?2y?5??y?2z?8 例2 解方程组 ??z?2u?11

?u?2x?6?

①②③④

?x?y?z?1??y?z?u?2? 例3 解方程组 ?z?u?v?3

?u?v?x?4???v?x?y?5

①②③ ④⑤

?1?x?

??1 例4 解方程组??

?x

?1???x12???4yz14??11yz2?5y①② ③

1

说明 解法可以使用整体处理法,即从整体上进行加减消元或代入消元(此时的“元”是一个含有未知数的代数式,入

11

,等);或使用换元法,也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整xy

体元”,从而简化方程组的求解过程.

?1?x??

例5 已知 ?

?1???x

23??0yz65??0yz

试求

xyz

??的值. yzx

?ax?2y?1?a

例6 已知关于x,y的方程组?

?2x?2(a?1)y?3

分别求出当a为何值时,方程组

(1)有唯一一组解;(2)无解;(3)有无穷多组解.

①②

例7 已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0解为x?

4

,试求不等式9

(a?4b)x?2a?3b?0的解。

例8 甲、乙两人解方程组?

?ax?5y?13?4x?by?-2

①②

由于甲看错了方程①中的a而得到方程组的解为?

?x??3

,乙看错了方程②中的b而得到的解为

y??1?

?x?5

,假如按正确的a,b计算,试求出原方程的解. ?

?y?4

练习五

1.解方程组

2

2.若x1,x2,x3,x4,x5满足方程组

试确定3x4+2x5的值.

3.将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c

的形式,试求

4.k为何值时,方程组

有唯一一组解;无解;无穷多解?

3

5.若方程组

的解满足x+y=0,试求m的值.

4

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