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中考数学竞赛讲座及练习 第13讲 从三角形内角和谈起

发布时间:2014-05-22 08:15:36  

第十三讲 从三角形内角和谈起

三角形的内角和等于180°(也称一个平角)是三角形的一个基本性质.从它出发可引出下面两个事实:

(1)三角形的外角等于此三角形中与它不相邻的两个内角和.

如图1-35所示.延长三角形的三条边,由三角形一条边

及另一条边的延长线所成的角称为该三角形的一个外角.

如图1-35中的∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6.由于

∠1+∠ABC=180°(平角),

∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°,

所以

∠1=∠BAC+∠BCA.

同法可证

∠3=∠BAC+∠ABC,

∠5=∠ABC+∠ACB.

(2)n边形的内角和等于(n-2)×180°.

如图1-36所示.以n边形A1A2?An的某一个顶点(如A1)为共同顶点,

将这个n边形“分割成” n-2个三角形△A1A2A3,△A1A3A4,?, △

A1An-1An.由于每一个三角形的内角和等于180°,所以,这n-2个三角形

的内角和(即n边形的内角和)为(n-2)×180°(详证见后面例 6).

三角形内角和等于180°这个事实有着广泛的应用.

例1 如图1-37所示.平面上六个点A,B, C,D,E,F构成一个封

闭折线图形.

求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.

说明 依据图形的特点,利用几何图形的性质将分散的角集中到某些三角形之中,是利用三角形内角和性质的前提.

例2 求如图1-38所示图形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.

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例3 如图1-40所示.在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角平分线交于D,且∠D=30°.求∠A的度数.

说明 解决本题的关键在于两条角平分线架起了△ABC与△BCD之间的桥梁,完成了从已知向未知的过渡.细心审题,发现已知与所求之间的联系,常是解题的重要前提.

例4 如图1-41所示.∠A=10°,∠ABC=90°,∠ACB=∠DCE,∠ADC=∠EDF,

2

∠CED=∠FEG.求∠F的度数.

例5 如图1-42所示.△ABC的边BA延长线与外角∠ACE的平分线交于D.求证:∠BAC>∠B.

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由于多边形可以分割为若干个三角形,因而多边形的内角和可以转化为三角形内角和来计算.下面我们来求n(n≥3的自然数)边形的内角和.

例6 n边形的内角和等于(n-2)·180°.

说明(1)从具体的简单的问题入手常能找到解决复杂问题的思路.如本题从n=4,5入手,找到将多边形分割为三角形的方法(这是一个本质的方法),从而可以推广到n为任意自然数的范围中去.

(2)各条边都相等,各个内角都相等的多边形称为正多边形.由本例自然可以推出正n边形每一个内角的大小.

设正n边形的一个内角大小为?,则

n边形的内角和=n??(n?2)?180?,

所以

??

例如正五边形的内角的度数为 (n?2)?180? n

??

正十边形的内角度数为 (5?2)?180??108? 5

??(10?2)?180??8?18??144? 10

练习十三

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