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几道初中数学竞赛题的另解

发布时间:2014-05-22 11:51:55  

20中等数学

短 论 集 锦

5°(华南师大附中番禺学校,511442)

Q.于是,

S△CBD=aS△CAD

BC?DQ===.DPtanθAC?DP2

+1.a

  题目 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=

BC,D是边AB上的一点,线段CD的垂直平

故-1参考文献:

分线分别交边AC、BC于点M、N.若AD=a,

BD=b(a、b是给定的正数),试求CM、CN

[1] 吴伟朝.数学奥林匹克问题(初152)[J].中等数学,

2005(4).

的长度(用关于a、b的最简式子表示),并确定

[1]

的取值范围.a

几道初中数学竞赛题的另解

王 毅

(湖南省长沙市长郡中学,410002)

解:如图1,设

CM=DM=x,作DP⊥AM于点P.

  题1 是否存在正整数a、b,使得等式

a+(a+b)+b=b+a+2

3

2

3

DP=

=AP,

图1

成立?如果存在,求出a、b的所有值;如果不存在,请说明理由.

[1]

MP=

2

2

-x-=

+

2

-x.

解:由原式得

a+(a+b)-a=b-b+2,

2

故a(a+1)(a-1)+(a+b)3

2

3

由x=

CM=x=

2

2

-x

,解出

=b(b+1)(b-1)+2.

.

2

2

2b

已知a、b为正整数,因此,

.

a(a+1)(a-1),b(b+1)(b-1)

2

同理可得CN=y=

2a必能被3整除.但(a+b)除以3的余数不可能为2,矛盾.

所以,不存在这样的a、b使原式成立.题2 已知实数a、b、c、d互不相等,且

设∠ACD=θ,则∠BCD=90°-θ.θ=2215°当BD=BC时,,点N与B重合;θ=6715°当AD=AC时,,点M与A重合.

2005年第12期21

a+

b

=b+

c

=c+

d

=d+

a

=x.

将上式与已知等式相减得

b+ca+b

试求x的值.

(2003,全国初中数学联赛)

--

+-+

a+b+a+ca+b+a+b+=0.

解:由已知有b

=x-a,

d

=x-c,b=x-c

c

,d=x-a

a

++

a+b+c)(a+c)(a+b+c)=0,

(a+b)(a+c+b)

22

则(x-a)--x1.

2

故cx-ac1)x+a-c=0,

ax-(ac+1)x+c-a=0.

2

即2

2

a+b+cb+c

2

++

2

a+c

2

+

2

a+=0.

两式相减得

(c-a)x2=2(c-a).

2

又c≠a,因此,x=2,x=故

b+c

+

a+ca+b

=0.

参考文献:

3

题3 已知实数a、b满足a+b+3ab=1.求a+b.

(2004,全国初中数学联赛)

3

[1] 刘康宁,党效文.数学奥林匹克初中训练题(71)[J].

中等数学,2004(6).

一道数学题的另解

熊福州

(四川省泸县第二中学,646106)

解:由题设可知

a

+b+(-1)-3ab(-1)=0.

3

3

3

由公式

a+b+c-3abc

3

3

3

2

2

2

  题目 求满足下列条件的最小正整数

n:对于n存在正整数k,使得

=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ac),

若a+b+c-3abc=0,则

a+b+c=0或a=b=c.

333

<<15n+k13

成立.

文[1]对此题的几个错误解法进行了剖析,并给出了一个巧思妙解及依据.其实,此题是二元不等式解集中求正整数解的问题.

下面就用含参不等式的解法解此题.解:在不等式

<<中,视k为15n+k13

n<k<n,即78

于是,a+b+(-1)=0或a=b=-1.故a+b=1或a+b=-2.题4 若实数a、b、c满足

b+c2

+

a+c2

+

a+b2

=1,

b+c

+

c+a

+

a+b

的值.

(1999,长沙市初中数学竞赛)

未知数、n为参数,解得

解:构造恒等式

++=1.

a+b+ca+b+ca+b+c

n<k<n+.7756

当n=7m(m∈N+)时,有

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