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第36届俄罗斯数学奥林匹克(十一年级)

发布时间:2014-05-22 11:51:57  

中等数学

第36届俄罗斯数学奥林匹克(十一年级)

中图分类号:G424.79

文献标识码:A

11.1.是否存在非零实数a。,a:,…,a…使得

斡+丢)=肌一丢)?

11.2.在n×n(n≥4)的方格表的一条对角线上的每个方格内有一个“+”号,其余每个方格内有一个“一”号.将任一行或一列中所有的正负号变号称为一次操作.证明:经过任意有限次操作后,方格表中至少还有n个“+”号.

11.3.圆to的内接四边形ABCD的对角

线交于点K,膨。、鸭、鸭、帆分别是圆tO的弧

AB、BC、CD、DA(不含其他顶点)的中点,“

,2、厶、,4分别是△ABK、ABCK、ACDK、

ADAK的内心.求证:直线肘。“收,2、坞毛、

M414共点.

11.4.给定正整数n(n≥3).求使得下面结论恒成立的最小的正整数k.

对于平面上任意三点不共线的n个点A;=(并i,Y;),任意rg个实数c;(1≤i≤,1),都存在一个次数不超过k的二元实系数多项式P(石,Y),满足

P(筏,Y‘)=Ci(i=l,2,…,n).

11.5.给定正整数n(n>1).证明:存在

n个连续的正整数,使得它们的乘积是所有不超过2乃+l的质数的倍数,但不是任意其

他质数的倍数.

11.6.四面体四个面的内心可否共面?11.7.已知n(n≥3)次多项式P(x)的n个实根髫l<茹2<…<髫。满足

茹2一Xl<X3一髫2<…<舅n一菇n—I?

证明:函数Y=IP(x)I在区间[菇,,菇。]上

的最大值一定在区间[菇。一。,菇。]上的某点处

万方数据

文章编号:1005—6416(2010)10—0032—03

达到.

11.8.某寄宿学校中有512名学生住在256间宿舍,每间宿舍合住的两人称为室友.已知这些学生共选修9门课,且任意两名同学所选课程都不完全相同.证明:所有同学可以排成一圈满足:

(1)任意两个室友相邻;

(2)任意非室友相邻的两人中一人所选的课程是另一人所选课程的子集且恰少选一门课.

参考答案

11.1.不存在.

注意到对k=l,2,…,10,有

l口。+::l=I口。I+jJak—l

>max{lakl,亩蚓旷上akl≥o.

将上述不等式相乘得

扑+丢J>扑一斟

11.2.用(i,J)表示第i行、第J列的方格.不妨设(i,i)(i=l,2,…,n)中有“+”号.显然,操作不能改变位于方格表中任意矩形的四个角(称为四联角)中“+”号个数的奇偶性.

考虑以下n个互不相交的四联角,

{(i,i),(i,i+1),(i+2,i),(i+2,i+1)}

(i=l,2,…,n一2),

{(厅一1,n一1),(n一1,,1),(1,n—1),(1,n)},{(,l,n),(rg,1),(2,rt),(2,1)}.由于初始时刻,它们都各含1个“+”

号,故它们永远都至少各含一个“+”号.

2010年第lO期

11.3.注意到“厶、,3、,4分别为A鸭与

BM4、BM,与CML、CM4与DM2、DM、与AM3的交点.

由于AMl+CM3=BMl+DM3,直线

肘。肘,与AC、BD的夹角相等,故肘。坞与么AKB的平分线平行,即肘。M3//i。,3.

凰理,M2M4//|2I。.

如果直线,。,3和肘,肼,、,2,4和鸩犯重

合,则结论显然成立.

下设点,,不在直线肘。坞上.

令A’、B’、C’、D’分别为DM,与矾、AM2

与CM。、BM3与DM2、A鸭与CM4的交点.

因为/BMlM2=么CMlME,么BM2Ml=么AM2M1,

所以,△肘。幔B和△肘。M:曰’关于直线M.鸩

对称.

由此,鸭B7=MEB.同理,鸭C’M2C.

又M2B=M2C,得鸩B’=M2C7.

由于么A鸩忆=么DM2峨,且直线

鸭眠是等腰△鸩B’c’的高,故

B’C|LM2M4,B’Cf//MlM3//l。13.设直线肘:厶与线段8’c’、,。,3、肘。坞分

别交于点X、y、Z

考虑以点,2、鸩为中心的位似变换得

M1Z

B7X,1Y

MlZ—CtX—IJi

设直线肘。,。与鸭,3交于点P.

如果直线Py与朋,肘3交于点z’,由以

点P舯心的位似变换得等=等朋点

Z7与Z重合.故点P位于直线鸭,2上.

同理,点P位于直线眠厶上.

故四条直线肘。“鸩厶、肘,,3、耽,4交于

点P.

11.4肚㈦.

先证明一个引理.

万方数据

33

引理对平面上任意三点不共线的忍个给定点Ai=(并;,Y。)(1≤i≤r/,),存在次数不

大于【号】的多项式P(菇,,,),满足

P(x。,Yn)=l,P(x‘,Yi)=0(1≤i≤,l—1).

证明存在d=[号】条直线满足A。不在

这些直线上,而A。,A:,…,A川属于它们中的

至少一条(事实上,当n为偶数时,A.A:,A3A4,…,A。一3A。一2,AIA。一I;当n为奇数时,AIA2,A3A4,…,A。一2A。一I).

设kix+liy+mi=0(1≤i≤d)是这些直线的方程.则多项式

Q(x,y)=f。:[。。(厅k。石ix。+十l。iiyy。+,m,,iq)了

满足条件.

回到原题.

首先证明:k=[号】满足要求.

对i=1,2,…,n,由引理存在一个k次多项式Pix,Y),满足Pi在A,,A:,…,A。中除了Ai以外都取0,且Pi(菇i,儿)=1.则

P(x,,,)=∑ciPi(石,,,)

满足要求.

其次证明:k<【号】结论不成立.

考虑点Ai(i,i2),1≤i≤,l,cl=c2=…=C。一。=0,c。=1.则Al,A2,…,A。中任意三点不共线.

设存在一个次数为k的多项式P(x,Y),满足P(x;,Yf)=Ci.令Q(菇)=P(x,菇2).

则Q的次数不超过2蠡,且

Q(i)=O(i=1,2,…,,l—1),Q(n)=1.

故2J|}≥/-g--1,得||}≥[号】.

11.5.如果n+1是合数,则n+2,n+3,…,2n+l这n个连续正整数就满足条件.

显然,它不是任何大于2n+1的质数的

倍数,它是n+2到2儿+l之间所有质数的倍数.

又任意连续n个整数的积是n!的倍数,

n+I是合数,故它是1到2n+l之间所有质

数的倍数.

如果n+l是质数,则rt+2是合数.下证:rg+3,rt+4,…,2n+2这,1个连续正整数就满足条件.

首先由上面的讨论知,它们的乘积是

[1,,1]、[n+3,2n+2]中所有质数的倍数.又

显然它是n+l的倍数,故它满足条件.

11.6.不共面.

设A、B、C、D是四面体的四个顶点,L、

厶、k厶分别是△BCD、△ACD、△ABD、

△ABC的内心.设它们共面.显然它们中任意三个不共线,故它们构成一个凸四边形的顶点或一个位于另外三个两两连线所围成的三角形里.

(1)不失一般性,可设四边形厶厶,。厶是一凸四边形.则线段厶,。与如L相交.令肘、Ⅳ、足、£分别表示棱AB、AD、CD、BC的中点.过点曰作直线z平行于AC,则AABC的内切圆在z与AC之间,与AC相切,但不与Z相切.

这表明,点,D与曰位于中位线ML的两侧.

同理,点,B、厶位于平面MNKL的一侧,厶、,c位于另一侧.

这表明,线段,^,c、,。,D不相交,矛盾.(2)点厶位于△厶,。厶的内部.注意到

点如、k,D位于平面BCD的一侧,而,^在这

个平面上,故这种情况不可能发生.

11.7.显然,lP(戈)I的最大值不可能在气处达到.

对任意口∈(气,髫川)(i<rt一1),令

t=口一茗i,b=xn—t.

则b∈(x川,戈。).万方数据

中等数学

由条件得

茗I+珥--XI<省f+m一菇f(1≤后<Z≤,l—m).设P(x)=p(聋一舅1)(菇--X2)…(髫一茗。).贝UIb一菇,f=菇。一茗。一f

>髫i+n—J—zi—t

=Ixi+。一,一aI(i+1≤s≤乃一1),

lb一茗,I=b一髫,>戈。一l一菇,

>口一髫,=Ia一省,I(1≤r≤i一1).将所有上述不等式与等式

PIb一戈。IIb一毛I=pI口一鼍II口一戈。l

相乘得P(b)>P(n).

11.8.用数学归纳法对一般情况(厅门课,2“名学生,2”1间宿舍)证明结论.

不难讨论当n=2时,结论成立.

下设,l>2.

不妨设,物理是一门选修课且某对室友一个选修了物理,一个没选修物理.

将所有选修物理的学生集合记为A,没选修物理的学生集合记为B.则

lAl=IBl:28~.

将集合A和曰中的所有同学都各自安排到另外有2”2间宿舍的学校.原来的室友还是室友,剩下的A中任意两两配对成为室友(称为新室友).

由归纳法假设,集合A中学生可以排成

一圈K满足要求.

设(石l,聋2),(菇3,礼),…,(石姓一l,菇扯)是K上按顺时针方向排列的所有新室友对.

令菇:表示算i原来的室友,显然,菇:∈B.

在集合B中令

(省缸,x:),(茗;,茁;),…,(髫乞mz乞一?)

构成新的室友对集,与集合B中原来的室友对集共同构成了集合曰中的室友对集.

对集合B应用归纳法假设可将集合B

中学生排成一圈K’.将K中筇:i到勉+。之间的同学保持顺序地插入到∥中石乞、茗幺+,之间,得到新的大圈满足要求.

(李伟固提供)

第36届俄罗斯数学奥林匹克(十一年级)作者:

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年,卷(期):李伟固中等数学HIGH-SCHOOL MATHEMATICS2010(10)

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