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2007年北京市中学生数学竞赛初二

发布时间:2014-05-22 11:52:00  

40中等数学

2007年北京市中学生数学竞赛(初二)

  一、选择题(每小题5分,共25分)

1.若a、b、c是3个不同的正整数,并且

bca

abc=16,则a-b+c可能的最大值是(  ).

(A)249(B)253(C)263(D)2642.已知三个连续的正整数的倒数和等于)..则这三个数之和等于(  

504

(A)27(B)24(C)21(D)183.分母是2007(  )个.

(A))329(D)13324.,符号[x]表示不大于x

,-1,1-23

3

2

的最大整数,例如,[3114]=3,[-7159]=

-8.则关于x的方程=4的整数根

7

)个.有(  (A)4(B)3(C)2(D)1

5.如图1,8,宽为4,.则重叠部

.

)(图1

  7.

9.6令x=y,代入原方程得

6y+4y-17y+18y-6+5=0.

满足条件.故x1=.于是,33

易知y=

32

3x+2x-(17-9)x-(6-5)

=(x-=3(x-

)(3x2+3x+9-15).3

)(x-+1)(x+2-1).3

设正方形边长a=007,∠D′DC=α.则∠BD′E=2α,CD′=atanα,

).BD′=a(1-tanα

所以,△BD′E的周长为

)(1+tan2α+sec2α)a(1-tanα

=acosαcos2α

2

ααα=a22

cosαcosα-sinα=2a=610.20或119.

22222

设x+(x+1)=v,则(2x+1)=2v-1.

22

令u=2x+1,则u-2v=-1.其为佩尔方程,其基本解为(u0,v0)=(1,1).

,x=-1,x3=1-232

8.+k(k-16).

88设矩形的长、宽分别为a、b(a≥b).

2

则=k,即

所以,x1=

ab

2

4a+(8-k)ab+4b=0.

2

令t=

2

,则4t+(8-k)t+4=0.b

解得t=

[(k-8)+8

其全部正整数解可由

2n+1

un+vn=(u0+v0)

得到.其中,(u1,v1)=(7,5),(u2,v2)=(41,29),(u3,v3)=(239,169),u4>400.

故x=20或119.

(夏兴国 提供)

k(k-16)].

? 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net

2008年第1期41

(B)12(C)14(D)16  (A)10

二、填空题(每小题7分,共35分)1.将正整数从1开始依次按如图2所示的

规律排成一个数阵,其中,2在第1个拐角处,3在第2个拐角处,5在第3

图2

个拐角处,7在第4个拐

角处,…….那么,在第2007个拐角处的数是.

2.在一个3×3的方格表中填有1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数,每格只填一个数.现将每行中放有最大数的格子染成红色,放有最小数的格子染成绿色.设M是红格中的最小数,m是绿格中的最大数.则Mm到个不同的值3.,等腰△ABC,=AC,P、Q分别是边AC、AB上的点,且AP

图3=PQ=QB=BC.则

∠PCQ=.

4.化简+1++1+1++

ab

a

c

b

(10分)如图四、

5,在△ABC中,∠ABC=46°,D是边BC上的一点,DC=AB,∠DAB=21°.试

图5

确定∠CAD的度数.

(15分)若对于任意n个连续正整数五、

中,总存在一个数的数字之和是8的倍数.试确定n的最小值.并说明理由.

参考答案

一、1.C.

由题设易知{a,b,,8}.

bca

=1,=,a-b+c

8-1设此三个连续正整数为n-1,n,n+1.则

2

=++=,504n-1nn+1n(n2-1)

32

即 191n-1512n-191n+504=0.

2

因式分解得(n-8)(191n+16n-63)=0.

2

当n≥1时,191n+16n-63>0.故n=8.3.D.

2

因2007=3×223,所以,比2007小的且与2007互质的正整数有

2007-[]-[]+[]

32233×223

=1332(个).4.B.

由[]=4,知4<5,得7≤

77

x<.故x=7

,8,9.

35.A.

如图6,过E作EF⊥BD于F.易知点F为BD中点.

1+a

1+1+

b

1+1+

c

c

-1+

d

1+

的值为.

5.如图4,在长方形ABCD中,E、F、G分别是边AB、BC、CD的中点.已

图4知长方形ABCD的

2

面积是40cm.则四

2

边形MFNP的面积是cm.

(15分)已知a、三、b、c是实数.若2222222222bc2ac2ab

之和恰等于1,求证:这三个分数的值有两个为1,一个为-1.

又A、B、F、E四点共圆,故

图6

DE?DA=DF?DB,即 DE?8=2×4]DE=5.

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42中等数学

DE?AB=10.2

二、1.1008017.

设第i个拐角处的数为ai.显然,

故S△BDE==-1+(1+

c

aa

a

)+

bbb

(1+

a

)+

(1+)(1+)+(1+)(1+)(1+)

d

c

a1=2,a2i=a2i-1+i,a2i+1=a2i+(i+1).

因2007=2×1003+1,所以,

a2007=1+2(1+2+…+1003)+1004=1004+1=1008017.218.

2

  =-1+(1+

519.

a

)(1+

b

)(1+

c

)(1+

d

).

显然,3≤m、M≤7,且m≠M.故M-m∈{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}.如图7,8

个值均可取到

图7

3.30°.

设∠A=2α,则

∠ABC=∠ACB=90°-α,

α

∠BCQ=∠BQC=45°+,

2∠PCQ=∠ACB-∠BCQ=45°-.2

又由(AP?2cos2α+BQ)2sinα=BC,得2sinα(2cos2α+1)=1]2sinα(3-4sin2α)=1]sin3α=3sinα-4sin3α=2]α=10°(舍去).或50°故∠PCQ=45°-4.-1.a

=30°.2c

+

b

(1+a

a

)+b

(1+

c

a

)(1+

b

)+

d

(1+)(1+)(1+)

联结FP并延长交AD于点Q,显然,点Q是AD的中点.则

PQ=AE=AB,FP=AB.

244

,MN=?MN

2

=S长方形ABCD=9.245三、由题设222222222++=1,

2bcac2ab222222即-1+-1+

2bc2ac222+1=0

2ab222222

]++

2bc2ac222

=0

2ab2222

]++

2bc2ac22=0

2ab

]+

2abc

=0

2abc

222

]=0

2abc22

]=0

2abc

]=0.

2abc

所以,a+b-c=0或c+a-b=0或b+c-a=0.

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2008年第1期43

(1)若a+b-c=0,则222222==1;

2bc2bc222222==1;

2ac2ac222222==-1.

2ab2ab

(2)若c+a-b=0,同理可得222222=1,=-1,

2bc2ac

=1.

2ab

2

2

2

从而,∠ACO=46°=∠OAC.

所以,∠DAC=∠DAE+∠EAC=67°.五、先证n≤14时,题设的性质不成立.当n=14时,对于

9999993,9999994,…,10000006

这14个连续整数,任意一个数的数字之和均不能被8整除.

故n≤14时,题设的性质不成立.

因此,要使题设的性质成立,应有n≥15.再证n=15时,题设的性质成立.

设a1,a2,…,a1515个正,150的,:

1,2,…,a15中个位数字为0的整数有两个时,设ai<aj,且ai、aj的个位数字为0,则满足ai,ai+1,…,ai+9,aj为连续的11个整数,其中,ai,ai+1,…,ai+9无进位.

设ni表示ai各位数字之和,则前10个数各位数字之和分别为ni,ni+1,…,ni+9.故这连续的10个数中至少有一个被8整除.

(2)当a1,a2,…,a15中个位数字为0的整数只有一个时(记为ai):

(i)若整数i满足1≤i≤8,则在ai后面

(3)若b+c-a=0,同理可得

222222=-1,=1,

2bc2ac222=1.

2ab

()综合(1)2222222bc22ab

的值有两个为1,一个为-1.

四、如

图8,作

△ABD关于AD的轴对称图形△AED,则

∠EAD=21°,AE=AB.

所以,DE=BD.易知

图8

∠ADC=21°+46°=67°.故∠ADE=∠ADB=180°-67°=113°,∠CDE=113°-67°=46°.联结CE.

因为DC=AB,所以,△CDE△ABD△AED.设O为AE与DC的交点.因为∠ODE=∠OED=46°,于是,OD=OE.

又DC=AE,则

AO=CO]∠OCA=∠OAC]∠COE=2∠ACO.易知∠COE=2×46°=92°.因此,2∠ACO=∠COE=92°.

至少有7个连续整数.于是,ai,ai+1,…,ai+7这8个连续整数的各位数字和也为8个

连续整数.所以,必有一个数能被8整除.

(ii)若整数

i满足9≤i≤15,则在ai前

面至少有8个连续整数,不妨设为ai-8,

ai-7,…,ai-1,这8个连续整数的各位数字和

也为8个连续整数.所以,必有一个数能被8整除.

综上,对于任意15个连续整数中,必有一个数,其各位数字之和是8的倍数.

而小于15个的任意连续整数不成立此性质.

所以,n的最小值是15.

(李延林 提供)

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