haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 学科竞赛学科竞赛

2010年太原市初中数学竞赛

发布时间:2014-05-22 11:52:03  

20

中等数学

2010年太原市初中数学竞赛

中图分类号:C-424.79

文献标识码:A

一、选择题(每小题8分,共48分)1.已知a、b、c都是正整数,且abc=

010.则n+b+c的最小值是().(A)84

(B)82

(C)78

(D)76

2.当a<l时,化简 ̄/一口3(1一Ⅱ)的结

果是(

).

(A)a/口(D—1)(B)一口/口(口一1)(c)a/-h-(1一a)

(D)一口/口(1一口)

3.当筇=—il_时,函数以戈)=石3+4x2一

q3一二

2x一6的值是(

).

(A)一3√3(B)3怕(c)一6怕

(D)6√3

4.求作一个平行四边形,使其两邻边分别为口和2口,且两条对角线所成的锐角为600.这样的平行四边形应当是(

).

(A)仅有一个(B)有两个(C)有无穷多个

(D)一个也没有

5.小明在街上碰到一家卖西瓜的摊子,听卖瓜人吆喝:“大瓜10元钱一个,中号瓜10元钱两个,小瓜10元钱三个.随便拣,随便挑.”小明仔细看了一下瓜的大小和形状:瓜近似球形,中号瓜的直径大约是大瓜直径

的÷,小瓜的直径大约是中号瓜直径的詈.

小明认真思考后,花20元钱买走了体积总量相对最大的(

).

(A)两个大西瓜(B)四个中号西瓜(C)六个小西瓜

(D)两个中号西瓜和三个小西瓜

万方数据

文章编号:1005—6416(2010)12—0020一04

6.某校初三年级有四个班,每班挑选乒乓球男女运动员各一人,组成年级混合双打代表队.那么,四对混合双打中,没有一对选手是同班同学的概率是(

).

(A)去(B’歹4(c’i3(D)手

二、填空题(每小题9分,共36分)1.当n为任意实数,k为某一特定整数时,等式

n(n+1)(/"t+2)(/1,+3)+l=(矛+kn+1)2

成立.则.|}=一

2.当口≠0,b≠0且口≠b时,一次函数

Y=仳+b,Y=如+at和Y=口的图像围成的

图形的面积为一

3.如图l,将两个

正方形纸片ABCD和4

EBFG重叠,且使直角曰完全重合,然后用剪刀。

将它剪成若干小纸片,C恰能拼成一个大正方

图1

形.请用两次剪断(按直线剪断算一次)完成此项任务,用虚线在图上画出剪痕.

4.当n是正整数时,规定n!=/I,×(乃一1)×…×2×l,

称为/'t的阶乘(例如101=10×9×…×2×1

=3628

800).那么,在2

0101中,末尾共含

有零的个数是——_.

三、(18分)解方程组:

f2(茗+Y+z)一5以+Y+z+5=2,①

1睾=}=÷.【3—4—5‘

②划

2010年第12期

四、(16分)函数

Y=Ix2一ll+12菇2—1I+13茗2—1I

取得最小值l时,求自变量菇的取值范围.

五、(16分)如图2,已知△ABC的外心为0,过点曰、C任意作一圆,分别与AB、AC的延长线交于点E、F求证:AO上EF.

DB

图2

图3

六、(16分)如图3,在/MAN内有一定点P,已知tan么MAN=3,P到直线AN的距离PD=12,AD=30.过P任作一条直线分别与AN、AM交于点曰、C.求△ABC面积的最小值.

参考答案

——、1.C.

由2

010=2×3×5×67=6×5×67

=1×30×67=…。

知a+b+c的最小值为78.

2.B.

由题设知1一a>0.

又因一口3(1一a)≥O,所以,a≤0.

故原式=√一Ⅱ?n2(1一口)

=lal?石瓦=万=一口石面=万.

3.B.

注意到茗==L=一(2+石),即

43—-2

茗+2=一√亨.

故当茗:iL时,√3—2

八茗)=算(算+2)2—6(x+I)

=3x一6(x+1)=一3(并+2)=3√歹.

4.D.

如图4,直观得出,以BC=a为底边、顶

万方数据

21

角D为60。的所有△OBC中点0的轨迹为

,o、

不含曰、c两点的优弧BC(如图4(乙)),其

中,底边BC上中线的最大值为正△OBC的

高OE.

避碴

(甲)

(乙)

图4

而DE=等口<口,这与图4(甲)中的平行

四边形中OE=a矛盾.

故这样的平行四边形不存在.

5.A.

设大瓜的半径为尺,大、中、小瓜的体积

分别为氓、y中、%、.则由球的体积公式得

k:‰:n、=-:(季)3:(÷×÷)3

=203:153:123.

从而,氓>2%>3%、.

6.C.

4男4女组成四对混合双打的情况共有设一、二、三、四班的男、女选手分别为中,没有一对选手是同班同学的情形如下:

A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4fIII,IlII,III,B2818483

B28384BtB284BlBj

A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4IIfI,lIII,llff,8381曰482占384日1B2日3曰482BlA1A2A3A4A1A2A3A4AlA2A3A4IIII,IIlI,III.B4曰382日l

B483BIB2曰4曰1B283

由上得共9种情形.故四对混双中,没有

二、1.3.

24种.

Al、B。、A2、曰2、A3、口3和A。、峨.则四对混双一对选手是同班同学的概率是音?

22

由等式两端n的一次项相等得

6n=2kn=*k;3.

2.|掣I.

易求出三条直线的交点坐标为

A(1,口+6),B(a口-__bb,口),c(o,口).

观察AABC中三个顶点的坐标知

愀I=l孚一。l-l譬I.

又△ABC的高h=I(口+6)一口I=I

故s出胛=扣蒯忆I警|.

bI.

3.如图5,联结EC与AD交于点K,作CH上EC交GF于点凰则EC、CH即为剪痕.

证明如下.易知

图5

m△皑Rt△EAK.

将Rt△CFH移补在Rt△EAK的位置。

可得上下两层RtAEBC,将它们分别移补在

Rt△EGM和RtAMPN的位置.

易知么CEM和么EMN皆为直角.联结ItN.

因为MP=EB=GF,所以,

MG=PF.

而MG=BC=AD,故PF=AD.但HF=AK,于是,PH=DK.

又PN=BC=CD,么NPH逆CDK=900.

则Rt△NPH丝Rt△cDK与么l=么2=么3=么4.

因为C、日、Ⅳ在同一直线上,所以,可以将正方形ABCD中的RtACDK移补在

Rt

ANPH的位置上.

于是,拼凑得出的四边形ECNM为正方

万方数据

中等数学

形,且它的面积为正方形ABCD和EBFG的面积之和.

4.501.

末尾0的个数取决于含10的因子的个数.而10=2×5,又显然在2

010

1中含2的

因子个数比含5的因子个数多,于是,只需求出2

010

1中含质数5的因子个数,即得到末

尾0的个数.

在l至2010的整数中,5的倍数有

【半】个,52的倍数有[半】个'.…

又因为55>2010,所以,20101中含5的

因子个数共有

【半】+【半】+【半】+[半】

=402+80+16+3=501.

三、令 ̄/7互+y+z+5=t≥0.贝9

茗+,,+z=t2—5.

代人式①得

2(t2—5)一5t=2,

即2£2—5£一12=0.

解得t=4或t=一÷(舍去).

由 ̄/石+y+:+5=4j菇+),+z=11.

由式②及等比定理得

x—Y一三一生±Z+:一11

3’‘4。’5。’

12’’12’

解得茗=i11,,,=竽,:=菩.

四、令石2=l(I≥0).则

,,=It一1I+12t一1I+13t—lI.

当o≤t<÷时,

1一t+l-2t+l一3I=3-6t

毒1<),≤3;

当÷≤t≤÷时,

y=1一t+l一2t+3t一1=l;

2010年第12期

当寻<t≤l时,

Y=1一t+2t一1+3t一1=4t一1

等l<,,≤3;当t>1时,

Y=t一1+2t一1+3t一1=6t一3

号y>3.

综上,当÷≤t≤丢时,y面。=1.故由÷≤菇2≤÷,知当y面。=l时,

一譬≤菇≤一万T』=T≤茹≤譬.

五、如图6,作△ABC的外接圆00,联结AO并延长分别交00、EFA

于点D、G,联结CD.易知

图6

么肛G=么ACB.

么BAD=么BCD.么ACD=900.则么AEG+么EAG=么ACB+么BCD=么ACD=900.故么AGE=900.

从而,AG上EF,即AO上EF六、解法1如图7.设DB=茗,作CE上AB,

PF÷fCA.

令AE=t.由A

FD

tan么MAN=3图7

号CE=3t.

同理,由PD=12jFD=4.

I±t/kABC(.o/kFBP,得差=历FB,Bp

3—0—+x一坐

3t‘。12。

从砷=等警.

万方数据

故.s出Bc=和曰?cE

=虿1(30㈦×掣

:6×掣.

耳+菇

令m=号譬.

转化为舅的二次方程得茗2+(60一m)x+900—4m=0.因为茹为实数,所以,

A=(60一m)2-4(900-4m)I>0,即m(m一104)≥O.

故m≤0或m≥104.

从而,当m=104时,有

(s△忸c)Ⅲi。=6m=624.

另由等譬=104,解得髫=22.2

解法2可以证明,当过点P的直线满足PB=PC时,△ABC的面积最小.

事实上,设曰。C。为过点P的任一直线,构成△ABlCl.

如图8,作CF

//8。B.则

△肼丝APBB。

故S出船

=SAece+

A8E

DB。BⅣ

5四边脚l朋图8

<5伽l。I?

根据上述几何结论计算如下.因为PD=12,所以,CE=24.

又因为tan么MAN=3,所以,AE=8.由E1)=BD,而ED=AD-AE=22,得

BD=22.

故AB=AD+BD=52.

(s删)一。=—秒‘CE=624.

(命题人陈兆镇任朝雁晚成国张亚静曹军)

2010年太原市初中数学竞赛作者:

作者单位:

刊名:

英文刊名:

年,卷(期):陈兆镇, 任朝雁, 晚成国, 张亚静, 曹军中等数学HIGH-SCHOOL MATHEMATICS2010(12)

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com