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2009年北京市中学生数学竞赛初二

发布时间:2014-05-22 14:17:39  

中等数学

2009年北京市中学生数学竞赛(初二)

中图分类号:G424.79

文献标识码:A

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.当m=一÷时,代数式

兰!二兰里一

塑:

銎一堡L二三

m2—9,扎2—9。,n+3

m+3

的值是(

).

(A)一1(B)一{}(c){_(D)1

2.已知一个正八边形中最长的对角线等于口,最短的对角线等于b.则这个正八边形

的面积等于(

).

(A)口2+b2(B)口2一b2(C)o+b

(D)06

3?计算赤+丌%+吾b+

×36”。“一、

).

7‘

(A)去(B)熹(c)刍(D)壶

4.已知n为正整数,记1×2×…×n=n!(女口11=l,41=1×2×3×4=24等).若肘

=11×2

1×…×91,则M的约数中是完全平

方数的共有()个.

(A)504(B)672(C)864(D)9365.将2009表示成两个整数的平方差的)种.

(A)16

(B)14

(C)12

(D)10

二、填空题(每小题7分,共35分)

1.计算箜』著蔓蔓!+45.1×13.9的值

2.已知0<n<1.且

[口+丽1】+[口+丽2】+…+【8+嘉】_-8.

万 

方数据文章编号:1005—6416(2010)01-0024—03

则[10a]等于——([石]表示不超过实

数戈的最大整数).

3.如图l,在口ABCD中,AD=口,CD=b,过点曰分别作边AD、C

CD上的高h。h6.已知ha≥9,h6≥6,对角

线AC=20.则口ABCD

的面积为一

图l

4.已知/xABC,么A、么B、么C的外角

度数之比为0f:卢:y(a、卢、7均为正数).则

么A:么B:么c等于——(用含a、卢、y的

式子之比表示).

5.当1≤髫≤2时,化简

厂—————.=====厂—————_:====

√菇+Z/x—l+√戈一,/x一1三、(10分)设o+6+c=O,Ⅱ2+62+c2=1.

=一

(1)求n6+6c+∞的值;(2)求口4+b4+c4的值.四、(15分)如图2,在六边形ABCDEF中,

o。

口C

AB=BC=CD=DE=EF=FA。

E且么A+么C+么E

图2

=么B+么D+么F求证:

么A=么D,么B=么E,么C=么P五、(15分)(I)证明:由2009个1和任意个0组成的自然数不是完全平方数;

(2)试说明,存在最左边2009位都是1

的形如坚。丰…木宰的自然数(木代表阿

009个

拉伯数码)是完全平方数.

~+~+一H、11口■日I

21×26。26×

万专磊+磊七一31+—31专丽的值是(形式.则不同的表示法有(

等于一

2010年第1期

参考答案

1.A.

当m≠±3时,题设代数式有意义.则

21—5mm

mm一3m2—9m2—9’m+3

m+3

=——F—一一—了—一一一

21—5mm+3

/7/,一3

m2—9

m2—9m+3

21—5m—m一3一/7/,2+6m一9

m。一9

9一m2

2—m2—-9

2一l‘

由于m=一÷在该代数式的允许值范围

之内,故代人结果等于一1.

2.D。

如图3,在正八边形中,最长的对角线为

AE=BF=CG=DH=o.

最短的对角线为

AC=BD=CE=DF=EG=FH

=甜=珊=b.

按图3所示进C

行割补得

图3

S正八边形刖,∞暇脚=S四边形只叩fⅣ=ab.

3.B.

一+~‘~J-

11‘11

16’16×21‘

21×26。26×31。31×36

=了1

l百1一六)+了1I百1一去)+

÷(而1一者)+÷(六一去)+了1I丽1一者)+了1I订1一瑟1)=÷(百1一点)=磊1.

4.B.

注意到

M=11×21×…×91

=28×37×46X55X64X73×82×9

万 

方数据=230×313×55×73.

因为一个完全平方数厅具有形式

疗=2知X327

X5扛x72”(z、Y、z、钳∈N),

且2x≤30,2y≤13,2z≤5,2w≤3,所以,这样的n共有

16x7X3X2=672(个).

5.C.

设z2一y2=2009,即

(并+Y)(髫一),)=2009=72×41.

则2009有6个正因数,分别为1、7、41、49、287和2

009.

因此,对应的方程组为

,髫+Y=一l,一7,-41,一49,一287,l

一2009,1,7,41,49,287,2009;1戈一Y=一2009,一287,一49,一4l,一7,L

一1,2009,287,49,41,7,1.

故(石,y)共有12组不同的表示.二、1.3481.

型慕塑+45.1×13.9

一(笪:!=!!:2)f箜:!:±箜:!兰!!:!±!!:12工

。45.1—13.945.1×13.9

=45.12+2x45.1

13.9+13.92

=(45.1+13.9)2=592=3

481.

2.6.

由<由<口+苑<口+丽<…<n+嚣<2,则口+苑1<口+丽20<…<n+瑟<2,则

[口+刍】,【口+未】,…,【口+2丽9】=o或?.

由题设知,其中有18个等于1.因此,

【口+嘉】=【口+丽2】=…=【a+苑11】=0,【口+豢】=【口+朵】=…=[口+凳】=L.故o<。+苑11<1,l≤口+凳<2

j18≤30口<19硝≤10a<竿

j[10a】=6.

3.200.

‘由h。≥口,h6≥b,此夕}、,口≥h6,b≥h。,贝!Ih。≥口≥^6≥6≥^。,即h。=口=h6=b,这意味

26

着CTABCD是个正方形.

因为该正方形的对角线AC=20,所以,I:JABCD的面积等于200.

4.(卢+y一“):(7+or一卢):(口+/3-y).

设么A、么B、么C的外角分别为otx、肛、弘.由题意得

==’t=~

otx+肛+yx=3600

3600

a+卢+y

=争么A=,80。一主专;}罱

0c十p十7

一』垡±宦±z二兰垡21婴:

a+卢+y

同理郄=避群,

一(旦±z二垡)!婴:

a+p+y

a十p十1,

c=≮%≠

故么A:么曰:么C

=(p+y—a):(7+a一卢):(Ol+卢-y).

5.2.

注意到

o%+2、/ff-1一’4x—z:;-1一

=√(戈一1)+z/z一1+1+

= ̄/(√丽+1)2+√( ̄/钉一1)2√(石一1)一z/-;一1+1

=l√钉+l|+I√西一l1.

故√戈+2/i_=了+ ̄/茗一2厨

因为1≤髫≤2,所以,以一1—1≤0.

=/石一1+l一( ̄/名一l一1)=2.

三、(1)因为口+b+c=0,所以,

(Ct+b+c)2

=(t2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0.

又口2+62+c2=1,贝0

ab+bc+Ca=一÷.

(2)ab+bc+c口=一÷

芍(口6+6c+训2=寺

万 

方数据中等数学

么BAF+

图4

么BCD+么DEF

=么ABC+么CDE+么EFA=3600.如图4,作△EFP丝△CBA,联结AP.则[AFP:3600—ZEFA一[PFE=3600一么EFA一么ABC=么CDE=么n

于是,△A卯塑△CDE号AP=CE.

故△ACE丝△EPA哥么CAE=么PEA.

又么BAC=么BCA=÷(180。一么县),么FAE=么FEA=÷(1800一么F),

故么BAC+/FAE

=1<180。一么曰)+{(180。一么F)

=告(360。一么日一么F):了1么D.

又么谢E=么PEA=么P时+么AEF

=么BAC+么FAE=÷么D,

则么BAF=(么BAC+么FAE)+么CAE

=i1么D+1./D:么D,同理,么B=么E,么C=么F

(下转第40页)

即,么A=么D.

2完的张位蝴2盏鬻盟言是都

01—+一1

中等数学

综上,当AB在00内平移时,总有

CN>EM.

(c一1)【(c一18)2+191=0.因此,c=1是唯一的取值.

二、(1)易知n、b,c、z均不为0,有

J拉彳,

lb=c(1+t+t2)穹6=c

①②

代入式①得z=气等=堕产=2

三damn=1+虿1+..。+万而1

1+等+(彳)‘】

=争63=b2c+bc(n—c)+c(02—2ac+c2)

=争ca2+bca一2c2口+b2c—bc2+c3一b3=0

=(1+1)+(丢+丽1T面090

nZ

ZUUyUyU苎

l+

908

j+【丁+万而J+)+

10

…+——+——J045—455)

…+

045454

=亭∞2+c(b一2c)a一(b—c)(b2+c2)=O.因为c≠0,所以,口是二次方程CX,2+c(b一2c)x一(b—c)(b2+c2)=0

的根.

2再面面丽丽+2×20090907+…+

垫塑Q塑竺

10045454

20090909。

20090909

10045455

=20090

当方程有重根a时.

=bzc(4b一3c)=0.

909×嚣,朋7

090907×20090908,

A=c2(b一2c)2+4c(b—C)(b2+C2)但bc≠0,得46=3c,代入式②得3=4(1+t+f2)々专(2t+1)2=O.解得t=一一_1.

其中,M=1×2×…x20P为正整数。故

20090909×n×p=M

m。

这表明,20但20

090

0909091IM×m.

909为质数,不能整除胞

(2)把口=15,b=7代人式③得

c3—37c2+379c~343=0.

因此,20

090909Im.

于是,m是吉祥数.(罗增儒

陕西师范大学数学系,710062

由系数和为零,必有一解c=1,则(C一1)(c2—36c+343)=0,

广东省惠州市华罗庚中学,516001)

(上接第26页)

五、(1)任意自然数可被表示为3后+r(3k+r)2=9k2+6b+r2(,-2=o,1,4),即r2被3除余。或1,这意味着整数的平方被3除的余数为0或1.也.就是被3除余2的数一定不是完全平方数.

=H■×102009+笆≯+1

:。1『f个l×loz啷+;墨…】+1

2列20091-×(9×掣+1)+5×必2:9×(必)2+蚶+5×卫■+1

21)。9个.

009-?-+1

009个

2㈣个

2(3×鹄荨)2+6×碧舞+1

设由2009个1和任意个0组成的自然

数为A,A的数字和为2009,被3除余2.则A

=(必+1)2=(翌14)2.

是器全平方数.

()注意到数

则。箸美_琶j62是oosl最-左边2009位

.一。,1:_’1r匹戢压胜。uu’㈦”肥1叫几全平方数?

口:.n…J主5…56

万方数据 

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