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2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛

发布时间:2014-05-22 14:17:42  

20中等数学

●竞赛之窗●

2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛

  一、选择题(每小题7分,共35分)

1.已知x+=7(0<x<1).则x-x

大致为图1中的(  ).

x

的值为(  ).

(A)-7 (B)-5 (C)7 (D)2.若关于x的方程2x-3x+m=0的一

2

个根大于-2且小于-1,另一个根大于2且小于3,则m的取值范围是(  ).

(A)m()-<m8(C<D)14<m-23.、平坡、下坡三个等长的路段组成,已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为v1、v2、v3.则该汽车在这段公路上行驶的平均速度为(  ).

(A)(C)

v1+v2+v3

图1

二、填空题(每小题7分,共35分

)6.将一枚骰子掷两次,若第一次出现的

点数为x,第二次出现的点数为y,则由x、y所确定的点M(x,y)在双曲线y=率为   .  7.计算

n

x

上的概

3v1

(B)(D)

v1

+

v2

v3

3v1

×+1(n≥2,

v2

v3

+

v2

v3

n

∈N)

的值为.

8.若p是质数,且p+3整除5p,则p

2009

4.已知在矩形ABCD中,AB=72,AD=56.若将AB边72等分,过每个分点分别作

AD的平行线;将AD边56等分,过每个分点

的末位数字是.

9.如图

2,在四边形ABCD中,

BAD=105°,

ABC=

ACB=

ADC=45°.若AB

分别作AB的平行线,则这些平行线把整个矩形分成了边长为1的72×56个小正方形.于是,被对角线AC从内部穿过的小正方形

(小正方形内部至少有AC上的两个点)共有(  )个.

(A)130

(B)129

(C)121

(D)120

=2,则CD的长为.

图2图3

5.已知边长为1的正方形ABCD,E为边

CD的中点,动点P

在正方形ABCD边上沿A

10.如图3,在圆环的10个空格内分别

→B→C→E运动.设点P经过的路程为x,△APE的面积为y.则y关于x的函数图像

填入1,2,…,10这10个数字,将所有相邻两个格子(具有公共边)内的两数之差的绝对值相加.若使这个和最大,那么,此最大值为

2009年第12期21

.

三、解答题(每小题20分,共80分)

11.已知

x+y

位置,并证明你的结论.

=2,

x+z

=3,

y+z

参考答案

  一、1.B.

因所以,x-2.C.

x-

=4.求

7x+5y-2z的值.

12.从如图4(甲)所示的等边三角形开

2

=x+

x

-2=5(0<x<1),

始,把它的各边分成相等的三段,在各边中间一段上向外画出一个小等边三角形,形成如图4(乙)所示的六角星图形;再在六角星各边上用同样的方法向外画出更小的等边三角形,形成一个如图4(丙)所示的有18个尖角的图形;然后在其各边上再用同样的方法向外画出更小的等边三角形(如图4(丁)).如此继续下去,越多的曲线,

.

x

=-设f(x)=2x-3x+m.

由已知可画出y=f(x)的大致图像,知(-2),f(-),,f(3)>0.-9<<-32

3s.则该汽车在各路段上行驶的时间分别为ti=

(i=1,2,3).故vi

该汽车在这段公路上行驶的平均速度为

v.t1+t2+t3v1

v2

v3

v1

v2

v3

图4

4.D.

如果设原等边三角形边长为a,不妨把每一次的图形变化过程叫做“生长”,例如,

第一次生长后得图4(乙),每个小等边三角形的边长为

a,所形成的图形的周长为4a.3

表 1

第一次第二次第三次生长后生长后生长后

每个小等边所形成的图形的周长

a34a

根据题意建立平面直角坐标系,使得A(0,0)、B(72,0)、D(0,56).则C(72,56).

因为AC与水平线(含AB与DC)、竖直线(含AD与BC)中的每一条都相交,所以,有57+73=130个交点(含重合的交点).

由表示直线AC的正比例函数为yx,9

请填写表1(用含a的代数式表示).

第n次生长后

………

于是,重合的交点坐标为(9k,7k)(k=0,1,…,8),即有9个重合的交点.

因此,共有(130-9=)121个彼此不同的交点,它们将对角线AC分成120段,每段仅穿过1个小正方形.

于是,AC共穿过120个小正方形.5.A.

如图5(甲),当0<x≤1时,AP=x,故y=x;

2

如图5(乙),当1<x≤2时,BP=x-1,

  13.已知m、n为正整数,关于x的方程

x-mnx+(m+n)=0有正整数解.求m、n

2

的值.

14.已知点P是锐角△ABC内的一个

点,且使PA+PB+PC最小.试确定点P的

22中等数学

CP=2-x.故

y=S正方形ABCD-S△ABP-S△ECP-S△ADE

AE=AB=2.

又=

DAC=DAB-ACB=

CABABC-ACE,

ACB)

=-

x;44

DAB-(180°-

=75°=180°-

故△ACE10.50.

△CAD]CD=AE=2.

设相邻格子内的两数为a、b(a>b).则

a-b=a-b,共有10个差.要使这10个差

的和最大,其中10个被减数a应当尽量大,

图5

如图5(丙),当2<x时,

2EP=-x.

2

故y1-x.10

个减数b应当尽量小,而每个数仅与两个

数相邻,,将10、9、8、753、1,.+7+6)-2(5+4+3+2+1)=50.

二.

.9

{1,2,…,6})共36

图7是满足条件的一种填数字的方法.

三、11.由题设有

=,+,2xy3xz=.4yz

n

点M(x,y)(x、y

个,其中,点(1,6)

、(6,1)、(2,3)、(3,2)在双曲线y上.因此,所求的概率等于.

x9

7.100.

n

图7

×

n

+1

2

==

(10-1)

n

+2×10-1

联立解得x,y=,z=24.75

n

2n

=100.

所以,7x+5y-2z=0.12.由表2即得.

表 2

第一次第二次第三次生长后生长后生长后

每个小等边三角形的边长所形成的a34a

2

8.2.

因5p的正约数为1、5、p、

5p,又(p+3)|5p,所以,p=2.

第n次生长后

33

n

n

故p

2009502

=2

2009

=

(2)

4502

×2=2×16.

2009

502

由16的末位数字是6,知p数字是2.

9.2.

如图6,过点A作

EA

AB与B

C的延

的末位

a9a3

a27a9

a

n-1

a

长线交于点E

.

则=

AEB=45°ADC,

图6

  13.设方程x-mnx+(m+n)=0的两

α+β=mn,

αβ个根为、.αβ=m+n.αβ均为正整数,不妨设  由m、n、、

2009年第12期23

2009年全国高中数学联合竞赛

第一试

一、填空题(每小题7分,共56分)1.若函数f(x)=

f

(n)

+x

2

,且

上的两点.在△ABC中,BAC=45°,AB过

圆心M.则点A的横坐标范围为.

3.在坐标平面上有两个区域M、N,M为y≥0,y≤x,N是随t变化的区域,它由不等式

y≤2-x,

t≤x≤t+1所确定,t0≤t≤1.

(x)x)…)).

n个

(99)

则f

2

(1)=.

M:2x+

2

2.已知直线l:x+y-9=0和

2y-8x-8y-1=0,点A在l上,B为

则M和Nf(x)=.

APB′=

BPA′=60°.

m  

mn-(m+n),即-α

(α-1)(β-1)+(m-1)(n-1)=2.

(α-1)(β-1)=2,1,0,(m-1)(n-1)=0,1,2.

在PB′上截取PD=AP,联结AD、CP,得△APD为正三角形.易证

△APC

]CP=B′△ADB′D

]PA+PB+PC=PD+PB+B′D(定值).=BB′

α=3,2,5,β=2,2,1,

m=5,2,3n=1,2,2.

如图9,在△ABC内任取一点M(不同于点P),联结MA、

MB、MC.

所以,(m,n)=(5,1),(2,2),(3,2).14.如图8,

分别以AC、BC为边向外作正△ACB′、△BCA′,联结BB′、AA′交于点P.则点P即为所求.

事实上,易证△BCB′△A′CA]

B′BC=

AA′C.

BCA′=60°.BPA′为对顶角,所以,

8

以点A为旋转中心,将△AMC逆时针旋转60°,使AC与

AB′重合,得△AGB′.

图9

则△AGB′△AMC]B′G=CM.联结GM.则△AGM为正三角形,有

MA=MG.

故MA+MB+MC=MG+MB+B′G=BM+MG+GB′>BB′.

故A′、B、P、C四点共圆.从而,因为

BPA′=APB′与

因此,点P到三个顶点A、B、C的距离之和最短(若以AB为边向外作正△ABC′,可得).AA′=BB′=CC′

(李果民 提供)

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