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2010年《数学周报》杯全国初中数学竞赛

发布时间:2014-05-22 14:17:43  

2010年第7期

19

2010年《数学周报》杯全国初中数学竞赛

中图分类号:C,424.79

文献标识码:A

一、选择题(每小题7分,共35分)1.若Ta=20,旦=10,则}兰的值为

D十C

().(A’万II(B)各(c)等(D)晋

2.若实数a,b满足÷口一ab+b2+2=o,

则口的取值范围是(

).

(A)a≤一2(B)a≤一2或a>14(C)aI>4(D)一2≤口≤4

3.如图1,在四边形ABCD中,/B=135。,么C=1200,AB

————

=2,/3,BC=4—2,/2,A

CD=4在.则边AD

图I

的长为(

).

(A)2√6

(B)4,/6

(C)4+后

(D)2+21G

4.在一列数名。,菇2,…中,已知茹l=l,且

当后≥2时,

Xk=Xk_I小4([字卜【字】)’

其中,[a]表示不超过实数口的最大整数(如

【2.6】=2,【0.2】=o).则X2010等于(

).

(A)1

(B)2

(c)3

(D)4

5.如图2,在平面直角坐标系xOy中,等

腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1)、曰(2,一1)、C(一2,一1)、D(一l,1).Y轴上一点P(O,2)绕点A旋转180。得点P。,P,绕

万方数据

文章编号:1005—6416(2010)07-0019一05

点B旋转180。得点l=,

P2,P:绕点C旋转P

1800得点P3,P3绕D卜

弋~

点D旋转180。得点,/0

\。1

P4,……重复操作依次得到点P。,尸2,图2

…,P2010.则点P20lo的坐标是(

).

(A)(2010,2)(B)(2010,一2)(C)(2012,一2)

(D)(0,2)

二、填空题(每小题7分,共35分)6.已知a=√亏一1.贝02口3+7口2—2口一12

的值等于

7.有客车、货车和小轿车各一辆在一条

笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10min,小轿车追上了

货车;又过了5min,小轿车追上了客车;再过

min,货车追上了客车.则t的值为.

8.如图3,在平

面直角坐标系茗观

中,多边形OABCDE的顶点分别是o(o,0)、A(0,6)、B(4,6)、C(4,4)、D(6,4)、E(6,0).若

图3

直线Z经过点M(2,3),且将多边形OABCDE

分割成面积相等的两部分,则直线Z的函数

表达式是——.

9.如图4,射线AM、BN都垂直于线段

20

AB,E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别与BE、BN交于点F、C,过点C作B

Ⅸ.

AM的垂线CD,垂足图4

为D.若CD=CF,则

笤的值为一:

lO.对于i=2,3,…,k,正整数n除以i

所得的余数为i—1.若n的最小值n。满足

2000<‰<3

000,则正整数k的最小值为

●_____‘_。_。●_-。_。一●

三、解答题(每小题20分,共80分)11.A.如图5,抛物线Y=aX,2+bx(a>O)与双曲线Y=三交

-了

于点A、日.已知点|V

A(1,4),点B在第三象限内,且

,|\认,、~一

△AOB的面积为3

(D为坐标原点).’

(1)求实数图5

a、b、k的值;

(2)过抛物线上点A作直线AC//x轴,

交抛物线于另一点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点层的坐标.∥11.B.设实数a、b满足

3n2—10口b+862+5口一10b=0.

求Ⅱ=9a2+72b+2的最小值.

12.A.如图6,△ABC为锐角三角形,

P、Q为边BC上的两点,△ABP、△ACQ的外接圆圆心分别为0。、0:.试判断BO。的延长线与CO:的延长线的交点图6

D是否在△ABC的外接圆上,并说明理由.

万方数据

中等数学

12.B.如图7,△ABC为等腰三角形,AP

是底边BC上的高,点D是线段

PC上的一点,BE、CF分别是

△ABD、△ACD

钐删。.

的外接圆的直径,联结EF.图7

求证:

t蛐么PAD=器.

13.A.实数a,b使得关于x,y的方程组

fxy一茗2=l,

①l矿+似2+如+口=o

有实数解(戈,y).

(1)求证:lyI≥2;(2)求a2+b2的最小值.

13.B.求满足却2+p+8=m2—2m的所有质数P和正整数m.

14.A.从l,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?

14.B.将凸五边形ABCDE的五条边和五条对角线染色,且满足任意有公共顶点的两条线段不同色.求颜色数目的最小值.

参考答案

一、1.D.由题设得

n+b1。…

b。‘20+12106+c

l+詈l+而1

11‘

2.B.

因为b是实数,所以,关于b的一元二次

方程b2一ab+姜_+2=o的手0另0式

△=(一口)2—4×l×(扣+2)I>0.

解得a≤一2或a≥4.

2010年第7期

3.D.

如图8,过点A、D分别作AE、DF垂直于直线BC,垂足分别为E、,.

由已知可得

BE=AE=佰,

图8

CF=242.DF=2,/6.

于是,EF=4+√6.

过点A作AG上DF,垂足为G.在Rt△ADG中,根据勾股定理得

AD=V/(4+厢)2+(厢)2

=√(2+洱)2=2+2厢.

4.B.

由题给条件得

菇l=1,筇222,菇3=3,石4=4,戈5=l,筇622,聋7=3,‰。4,

从而,该数列中

髫她+i=菇i(k∈Z,i=l,2,3,4).因为2

010=4

X502+2,所以,茗2010=2.

5.B.

由已知得点P。(2,0)、P2(2,一2).记P2(口2,b2),其中,a2=2,b2=一2.根据对称关系依次求得P3(一4一口2,-2一b2),P4(2+a2,4+b2),

P5(一口2,一2一b2),R(4+a2,b2).令P6(口6,b2).

同理,点P。o(4+‰,b2),即Plo(4×2+a2,b2).由于2010=4×502+2,则P2o.o(2010,-2).二、6.0.

由已知得(a+1)2=5.整理得口2+2a=4.敌2口’+7口2—2口一12

=2口3+4口2+3口2—2口一12=3口2+6口一12=O.7.15.

万方数据

21

’设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为Skm,小轿车、货车、客车的速度分别为口、b、c(km/min),并设货车经戈min追上客车.

由题意得

10(口一6)=S,15(a—c)=2S,z(b—c)=S.

于是,30(b—c)=S.所以,石=30.

故t=30—10—5=15(min).

8俨一}+譬.

如图9,延长BC交算轴于点F,联结OB、AF,联结CE、DFl

交于点Ⅳ.

由已知得肘(2,3)是OB、AF的中点,即M为矩图9

形ABFO的中心.所

15k+6:2.

解得{:三毒亨’

,,2一r+了‘

9.掣.

即(昙)‘nm一?=o.

解得旦:连≠或旦:二笔土(舍去).m

Z,,l

丝一丝一丛£一』L一盟

又Rt/XAFE∽Rt△CFB,则

AD’。BC。’FC’。m—。

因为厅+1为2,3,…,k的倍数,所以,n的最小值凡。满足

rto+1=[2,3,…,k],

其中,[2,3,…,k]表示2,3,…,k的最小公

倍数.

由于[2,3,…,8]=840,[2,3,…,9]=2520,[2,3,…,10]=2520,[2,3,…,11]=27720,

因此,满足2000<,lo<3

000的正整数k的

最小值为9.

三、11.A.(1)因为点A(1,4)在双曲线

y=÷上,所以,蠡=4.

故双曲线的函数表达式为),:一4.

设点B(t,÷)(t<o),zAa:Y=眦+n.则

瞬二2.

解得m=一了4,n=丛号业.

于是,直线AB与Y轴的交点坐标为

(o,华).

故s创彻=虿1×丛号盟(1一t)=3.

整理得2t2+3t一2=0.

解得£=一2或t=÷(舍去).

所以,B(一2,一2).

因点A、B都在抛物线Y=t1.茁2+如(口>0)上,所以,

{4口a+二22b2—2=争{口b三31.’

=一

=.

万方数据

中等数学

(2)如图10.

‘,,

洲|。

H腻淞:≤

匙一

|{

\A:E

\’

{|

、、

、、

\F

占.

图10

因为AC/x轴,所以,c(一4,4).

于是,CO=4√2.

又BD=2厄,则丽CO=2.

因为koB=l,koc=一l,所以,么COB=900.

(i)将△BOA绕点0顺时针旋转900,得到△B’OA..

此时,B’(一2,2)是CO的中点,点A1(4,一1).

延长0A。到点E,使得OEI=20A。,此时,E。(8,一2)是符合条件的点.

(ii)作△BOA关于戈轴的对称图形

△B’似:,得到点A:(1,一4).

延长DA:到点巴,使得OE:=20A2,此时,E:(2,一8)是符合条件的点.

综上,点E(8,一2)或(2,一8).11.B.由

3a2一lOab+8b2+5a一10b=0.

得(a一2b)(3a-4b+5)=0.

因此,a一2b=O或3口一46+5=0.(1)当n一2b=0时.

u=9a2+72b+2:36b2+72b+2

=36(b+1)2—34.

于是,当b=一l时。n的最小值为一34.(2)当3a-4b+5=0时,

u:9口2+72b+2:16b2+32b+27

2010年第7期

=16(b+1)2+11.

于是,当b=一1时,u的最小值为11.综上,u的最小值为一34.

12.A.答案是否定的,即BO,的延长线与CO,的延长线的交点D不可能在△ABC的外接圆上.

BOl

FD上BC.图12

因此,D、E、F三点共线.

作AH_L朋,垂足为H则AH=PJD.

联结AE、AF.则

么AEF=么ABC=么ACB=么AFD.

所以,△ABC∽△AEF.

则丽EF=万AH=万PD.

故tanZ

PAD=万PD=丽EF.

13.A.(1)由方程①知名≠O,且Y。茗+二._.

所以,…=卜÷I-…+吉xl>>-2.

(2)将戈2=xy一1代人方程②得

z(,,2+ay+6)=0.

万方数据

所以。Y2+ay+b=0.

因为方程组有实数解,故方程以),)=y2+ay+b=0

在IYIt>2的范围内至少有一个实根.

(i)当I口I≤4时,有

以-2)≤0或以2)≤O,

即2a≥b+4或2a≤一(b+4).

若b+4I>0,即b≥一4时,12口I≥b+4.

则(/2+b2粤华+6z

=÷(6+÷)2+孚≥学.

当6:一÷,口:±i8时,上式等号成立.

若b+4<0,即6<一4时,a2+b2>了16.

(ii)当lal>4时,口2+62>16<.

综上,口2+b2的最小值为半.

13.B.由题设得

P(2p+1)=(m-4)(m+2).于是,PI(m一4)(m+2).因为P是质数,所以,

Pl(m-4)或pl(m+2).

(1)若PI(m-4),令m-4=印(k是正

整数).于是,m+2>卸.

贝43p2>p(2p+1)

=(m一4)(m+2)>k2p2.故k2<3.从而,k=1.

则m-4=p,…等巴≥

(2)若Pl(m+2),令m+2=印(k是正整数).

当P>5时,有

m-4=印一6>细-p=p(k—1).贝03p2>p(2p+1)=(m-4)(m+2)>k(k—1)P2.

故k(k—1)<3.从而,k=I或2.因为p(2p+1)=(m一4)(m+2)是奇数,所以,k≠2.

故k=1.

于是,ram-4=.2p+l’这不可能.

中等数学

2010年全国初中数学联赛江西省初赛

中图分类号:G424.79

文献标识码:A

文章编号:1005—6416(2010)07—0024—04

第一试

一、选择题(每小题7分,共42分)

由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形有(

(A)12

)对.(B)13

(C)26

(D)30

1.化简—4—3+—4—5=-—、/耍13+

06+拉

是(

).

3.设ab≠O,且函数

的结果

Z(茗)=茗2+2ax+4b与五(髫)=菇2+4似+2b有相同的最小值u,函数

厶(菇)=一茗2+2bx+4a与正(髫)=一z2+46髫+2口有相同的最大值仉则u+秽的值(

).

(A)必为正数(C)必为0

(B)必为负数(D)符号不能确定

(A)厄

(B)譬

(c)2

(D)号

2.如图1,△ABC是等腰直角三角形,四

边形伽FG是

其内接正方形,日是正方形的对角线交点.则

图l

4.若关于戈的方程

算2+2ax+7口一10=O

没有实根,则必有实根的方程是(

fA)x2+2ax+3a一2=0(B)戈2+2ax+5a一6=0

).

当P=5时,m2—2m=63,解得m=9o当P=3时,m2—2m=29,无正整数解;当P=2时,m2—2m=18,无正整数解.综上,所求质数P=5,正整数m=9.

14.A.首先,如下61个数:11,11+33,11+2×33,…,ll+60×33(即1991)满足题设条件.

另一方面,设口l<a2<…<Ⅱ。是从1,2,

…,2010中取出的满足题设条件的数.对于

从而,di:簪≤掣<61.

33

33

故di≤60.所以,,l≤61.

综上,聘的最大值为61.

14.B.由于顶点A是四条线段AB、AC、AD、AE的公共点,因此,至少需要四种颜色.

若只有四种颜色,不妨设为红、黄、蓝、绿.则每个顶点引出的四条线段的颜色包含红、黄、蓝、绿各一种.因此,红色的线段共有

这几个数中的任意四个数吼、ni、吼、a。,因为

33I(ai+aI+Ⅱm),33I(口i+口t+口m),所以,33l(ai一口i).

因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数.

设q=al+33di(i=1,2,…,/7,).由33I(口I+a2+口3),得33I(3口1+33d2+33d3).

÷条,矛盾.所以,至少需要五种颜色.

下面的例子说明五种颜色可以将这十条线段染为满足条件的颜色:将AB、CE染为1号颜色;将BC、DA染为2号颜色;将CD、EB染为3号颜色;将DE、AC染为4号颜色;将EA、BD染为5号颜色.则任意有公共顶点的两条线段不同色.

综上,颜色数目的最小值为5.

(李果民提供)

所以,3313aI,11‰,即aI≥11.万方数据

2010年《数学周报》杯全国初中数学竞赛作者:

作者单位:

刊名:

英文刊名:

年,卷(期):李果民中等数学HIGH-SCHOOL MATHEMATICS2010(7)

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