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2009年_数学周报_杯全国初中数学竞赛

发布时间:2014-05-22 14:17:44  

2009年第8期23

2009年《数学周报》  一、选择题(每小题7分,共35)1.+(

3a.

+().

(A)-1 (B)0 (C)12.如图1,菱形

ABCD的边长为a,O

 (D)2

C().)(B)16(C)18(D)32

22

5.关于x、y的方程x+xy+2y=29的整数解(x,y)有(  )组.

(A)2 (B)3 (C)4 (D)无穷多二、填空题(每小题7分,共35分)

6.一条自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶3000km后报废,行

是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1.则a等于(  ).

(A)

图1

 (B) (C)1 (D)222

3.将一枚六个面分别编号为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两

驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换

前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废

,那么,这辆车将能行驶km.

7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心、AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心、DA的长为半径作圆,与A分别交于点

F、G,联结FG交AB于点H.则

.

的值为AB

次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b.则使关于x、y的方程组

ax+by=3,x+2y=2

只有正数解的概率为(  

).

(A)

12

(B)

9

(C)

18

(D)

36

8.已知a1、a2、a3、a4、a5是满足条件

a1+a2+a3+a4+a5=9

4.如图2,在直角梯形ABCD中,AB∥

DC,

B=90°

,动点P

从点B出发,沿梯形

的边由B→C→D→A运动.设P运动的路程为x,△ABP的面积为y.把y看作x的函数,函数的图像如图3所示.

的五个不同的整数.若b是关于x的方程x

-ax-ax-ax-a

x-a=2009的整数根,则b的值为.

9.如图4,在△ABC中,CD是高,CE为ACB的角平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于   .

10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏

图4

图2图3

的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自

24中等数学

己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出

来的数如图5所示,则

图5

报3的人心里想的数是   .

(20共22

yx+(2k-1)x+k的图像与xx=1的右侧?若是,请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在直线x=1的右侧时k的取值范围.

2

11.B.已知抛物线y=x与动直线

(x2,y2),且y=(2t-1)x-c有公共点(x1,y1)、

x1+x2=t+2t-3.(1)求实数t的取值范围;

(2)当t为何值时,c取到最小值,并求

2

2

2

延长线交于点E,过点E作AC的平行线交

CD于点F,过点D作AC的平行线交BF于

G.求证:AG条件BG.

14.A.n个正整数a1,a2,…,=2<…an,

且1,,ann-个不同的数的算.求n的最大值.

14.B.已知正整数x、y使得

是一个x+y

奇数.证明:存在一个正整数k,使得4k-1整除

.x+y

参考答案

一、1.C

由题设知a≥3,则题设等式为

b+2+

(a-3)b=0]a+b=1.

2

2.A.

出c的最小值.

12.A.在平面直角坐标系xOy中,把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”.求二次函数y=(x-90)-4907的图像上所有好点的坐标.

3

12.B.设正整数a满足192(a+191),且a<2009.求满足条件的所有可能的正整数a的和.

13.A.如图6,给定锐角△

ABC,BC<

CA,AD、BE是它

2

因△BOCa

△ABC,所以,

,即ABAC

=

a+1

]2

a-a-1=0.

由a>0,解得a3.D.

.2

当2a-b=0时,方程组无解.当2a-

b≠0时,方程组的解为

x,=

的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过点

D、E分别作l的

,.2a-b2a-由已知得>0,

2a-b>02a-b

垂线,垂足分别为F、G.试比较线

图6段DF和EG的大

小,并证明你的结论.

13.

B.已知AB为O的直径,弦DC∥AB,联结DO.过点D作DO的垂线,与BA的

]

a=2,3,4,5,6b=1,2,

a=1,b=4,5,6,

共有5×2+3=13种情况;

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6

2009年第8期25

.36

=36种情况,故所求的概率为

4.B.

根据图像可得BC=4,CD=5,DA=

5.进

而求得AB=8.故S

△ABC×8×4=16.

2

5.C.

,2+

,Δ≥0,

,即

Δ=y2-4(2

y2-29)=-7y2+116≥0.

2

解得y16157.

7

见表1.

表 1

y

2

两式相加得

=2k.

50003000

故x+y==353.7,延长AD与D交于点E,联结AF、EF.

由题设知

ACAD,

3

AB图7

AE.3

FHA=90°,EAF,

0116

1109

2

488

953

164

在△FHA和△EFA中,

EFA=FAH=

Δ

  显然,只有当y=16时,Δ=4是完全平方数,符合要求.

2

当y=4时,原方程为x+4x+3=0,此时,x1=-1,x2=-3;

当y=-4时,原方程为x-4x+3=0,此时,x3=1,x4=3.

所以,原方程的整数解为

(x,y)=(-1,4),(-3,4),(1,-4),(3,-4).

2

故Rt△FHA

Rt△EFA]

=.AFAE

因为AF=AB,所以,8.10.

.AB3

注意到

(b-a1)(b-a2)(b-a3)(b-a4)(b-a5)=2009,

二、6.3750.

设每条新轮胎报废时的总磨损量为k.则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为

且a1,a2,a3,a4,a5是五个不同的整数,则所有的b-a1,b-a2,b-a3,b-a4,b-a5也是五个不同的整数.

又2009=1×(-1)×7×(-7)×41,则

b-a1+b-a2+b-a3+b-a4+b-a5=41.

5000

,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨

.又设一对新轮胎交换位置前走

损量为

由a1+a2+a3+a4+a5=9,得b=10.9..7

3000

了xkm,交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

由勾股定理知AD=9,BD=16.所以,AB=AD+BD=25.

故由勾股定理的逆定理知△ACB为直角三角形,且

ACB=90°.

BC,垂足为F.设EF=x.

5000

++

3000

=

k,=k.

50003000如图4,作EF

26中等数学

由ECF=

2

ACB=45°,得CF=x.

于是,BF=20-x.因为EF∥AC,所以,]x=.15207

,即ACBC

个交点在直线x=1的右侧.

2

11.B.(1)联立y=x与y=(2t-1)x-c,消去y得二次方程

2

x-(2t-1)x+c=0①x12,则12=,x1x2=c.

x12=

22

[x12(xx2)]因此,CE=x..7

22

[(2t-1)-(t+2t-3)]2

2

(3t-6t+4).2

3x.则报5的人心里想的数应是8-x.于是,

报7的人心里想的数是12-(8-x)=4+x;

报9的人心里想的数是16-(4+x)=12-x;报1的人心里想的数是20-(12-x)=8+x;报3的人心里想的数是4-(8+x)=-4-x.

把式②代入方程①得

22

x-(2t-1)x+(3t-6t+4)=0.

2

t的取值应满足

t+2t-3=x1+x2≥0,

2

2

2

且使方程③有实数根,即

Δ=(2t-1)2-2(3t2-6t+4)

2

=-2t+8t-7≥0.

解不等式④得t≤-3或t≥1.解不等式⑤得2-≤t≤2.22

所以,x=-4-x.解得x=-2.三、11.A.不一定.

例如,当k=0时,函数的图像与x轴的

交点为(0,0)和(1,0),不都在直线x=1的右侧.

设函数与x轴的两个交点的横坐标为

x1、x2.则x1+x2=-(2k-1),x1x2=k.

2

所以,t的取值范围为2-≤t≤2.22

22

(3t-6t+4)(t-1).222

2

(t-1)+在2-≤t≤

222

(2)由式②知c当且仅当满足如下条件

Δ≥0,

(x1-1)+(x2-1)>0,(x1-1)(x2-1)>0

由于c=2时是递增的,则当t=2-时,22

cmin

时,抛物线与x轴的两个交点都在直线x=1的右侧.

(2k-1)-4k≥0,

2

2

2--22

2

+

.24

k,

4

222

12.A.设y=m,(x-90)=k(m、k都

-2k-1>0,

k+2k>0

2

]

k<-

,2

k<-2或k>0.

所以,当k<-2时,抛物线与x轴的两

是非负整数).于是,

22

k-m=7×701=1×4907,即 (k-m)(k+m)=7×701=1×4907.

k+m=701,k+m=4907,k-m=7;k-m=1.

2009年第8期27

解得(k,m)=(354,347),(2454,2453).因此,好点共有4个,它们的坐标为x,=(444,120409),(-264,120409),

(2544,6017209),(-2364,6017209).

3

12.B.由题设得192(a-1).又192=3×2,且3

a-1a-a(a+1)+=(a-)).a,6-1)26a-1

).又3(a-1)a(a+1)

,则

3

3(a-1)Ζ3(a-1).

故192

(a-1).于是,a=192k+1.又

0<a<2009,则

k=0,1,…,10.

因此,满足条件的所有可能的正整数a的和为11+192(

1+2+…+10)=10571.

13.A.如图8,联结DE.

6

因为=

ADB

AEB=90°,

所以,

A、B、D、E四点共圆.故

CED

=ABC.ACG=

ABC.

图8

又l

是所以,

O过点C的切线,则CED

=

ACG.于是,DE∥FG.

故D

F=EG

.13

.B.如图9

,联结AD、BC.

因为四边形

AEFC是平行四

边形,所以,

AE=FC.

由于

AD

=CB,DAE=

BCF,

图9

因此,△DAE△BCF.

于是,ADE=CBF.

又DE与O切于点D,则DCA=ADE.结合DG∥AC得

GGBC.、CG在O.AGBG..a1,a2,…,an中去掉ai(i=1,2,…,n)后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数bi,即

(a1+a2+…+an)-ai

bi.

n-1

故对于任意的i、j(1≤i<j≤n),都有

aj-ai

bi-bj.

n-1

从而,(n-1)(aj-ai).

an-a1由b1-bn=是正整数,则

n-1n-13

(n-1)2×251.又an-1

=an-an-+an1-an-+…+a2-an-+n-+…n-2

=(n-1),

2

则(n-1)≤2008.于是,n≤45.

3

结合(n-1)2×251,知n≤9.另一方面,令a1=8×0+1,a2=8×1+1,a3=8×2+1,……a8=8×7+1,a9=8×251+1.则这9个数满足题设要求.综上,n的最大值为9.

st

14.B.设x=2a,y=2b(s、t是非负整数,a、b都是奇数),不妨设s≥t.则

s+t+2s+2

ts-ts-t.x+y2(2a+b)2a+b

若s>t,则上式的分母是一个奇数,而分子是一个偶数,故上式是偶数,与题设矛盾.

s+2

于是,s=t.所以,.

x+ya+b

28中等数学

2008年全国高中数学联赛江西省预赛

  一、选择题(每小题6分,共36分)

1.若函数f(x)=lg(ax-a-2

,n+1与5n-1皆

值域为R,(+)[](C)0,4)((∞,-1)∪(4,+∞)

2.设a+b=1(b≠0).若直线ax+by=2和椭圆

22

2

.对于以下两个命题:

甲:7n+13必为合数;

乙:8(17n+3n)必为两个平方数的和.

2

6

2

2

=1有公共点,则

的取值b

你的判断是(  ).(A)甲对乙错(B)甲错乙对(C)甲乙都对

(D)甲乙都不一定对

范围是(  ).

(A)

-,2(B)[-1,1]

2

二、填空题(每小题9分,共54分)7.过点P(1,1)作直线l,使得它被椭圆92

(C)(-∞,-1]∪[1,+∞)(D)[-2,2]

3.四面体ABCD的六条棱长分别为7、13、18、27、36、41,且AB=41.则CD=(  ).

(A)7

k

4

=1所截得的弦的中点恰为P.则直

.

线l的方程为

8.设x

f(x)=

2

R.则函数

x+1+

.

(x-12)

2

+16

(B)13

k

(C)18(D)27

k

的最小值为

4.若对所有的实数x,均有sinx?sinkx+cosx?coskx=cos2x,

9.在四面体ABCD中,面ABC与面BCD

成60°的二面角,顶点A在面BCD上的射影

H是△BCD的垂心,G是△ABC的重心.若AH=4,AB=AC,则GH=

.

.

则k=(  ).

(A)6

(B)5

(C)4

(D)3

2n+1

5.设an=(2+),b

n是an的小数

10.sin20°?sin40°?sin80°n

2

部分.则当n

N+时,anbn的值(  ).

(B)必为偶数

11.已知数列{an

}满足a1=1,且对每个N+,an、an+1是方程x+3nx+bn=0的

(A)必为无理数(C)必为奇数

  设(a,b)=d,a=a1d,b=b1d,(a1,b1)=2a1b1d1.则是一个奇数.

x+ya1+b1

s+2

一个除以4余数为3.

设a1除以4余3.则可设

a1=4k-1(

k

N+).

所以,a1+b1能被2整除.故a1+b1能被4整除.又a1、b1都是奇数,它们除以4的余数为1或3.如果a1、b1除以4余数都是1,则它们的和不能被4整除,所以,其中一定有

s+2

因为(a1,a1+b1)=1,所以,

a1

]

(4k-1)

x+y.x+y

(李果民 提供)

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