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八年级天津初赛答案

发布时间:2014-05-22 14:17:45  

第八届世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛

地方赛复赛试题(八年级复赛答案)

一、填空题.(每题5分,共60分)

1.(1+x)n?1.

2. 1.

3. 720.

4. 3.

5. 2.

6. 6.

7. 3. 8.23.

9. 偶数.

10.AD=BC. 1()n?1s11. 5.

12. y=-x+2.

二、解答题.(每题10分,共40分)

1. 解:假设存在三个不同的素数p、q、r,满足p=a,q=a+md,r=a+nd ,其中,m、n是正整数,a、d是实数。 消去a、d,得q?pr?p?m,即mr?nq?(m?n)p ? n

333?式两边立方得:mr?nq?3(mr?nq)?(m?n)p ?

将?式代入?式:3mn(m?n)pqr?m3r?n3q?(m?n)3p 由于pqr是无理数,故上述等式矛盾。 所以不存在三个不同的素数p、q、r,满足p=a,q=a+md,r=a+nd 。

2.证:如图所示,分别取PA,PB中点E,F,连接ME,ED,FL,FD. 结合题中条件可得:

直角三角形APM中,ME=AP/2=AE,∠MEP=∠EAM+∠AME=2∠EAM 三角形ABP中,FD=AP/2 (中位线是底边的一半)

所以,ME=FD

同理,ED=LF,∠LFP=2∠LBP 则∠MEP=∠LFP.

容易得出,四边形PEDF是平行四边形,则∠PED=∠PFD.(对角相等) 则∠MED=∠LFD,

所以三角形MED与三角形DFL全等(SAS)

所以DM=DL 得证。

3.证明:如图,作△ABD关于AD的轴对称图形△AED,连CE。 则△ABD≌△AED,

∴ ∠EAD=∠BAD=21°,AE=AB

∴∠ADE=∠ADB=180°-67°=113°,∠CDE=113°-67°=46°。 ∴∠ODE=∠OED=∠ABD=46°,

则OD=OE,∠COE=2∠OED

又DC=AB=AE,

∴OC=OA,则∠OCA=∠OAC

∴∠COE=2∠OAC=2∠OED,

则∠OAC=∠OED=46°

∴∠DAC=∠DAE+∠OAC=21°+46°=67° .

4.解:如图,将解出A、B、C三题的学生用A、B、C三个圆表示,则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生,其人数分别以a,b,c,d,e,f,g表示。 由于每个学生至少解出一题,故a+b+c+d+e+f+g=25①

由于没有解出A题的学生中,解出B题的人数是解出C题的人数的2倍, 故b+f=2(c+f)②

由于在能解A的学生中,至少还能解别的一题的人数比不能解别的题目的人数少一个,故a=d+e+g+1③

由于正好能解一道题目的学生中,有一半不能解A,故a=b+c④

由②得:b=2c+f,f=b-2c⑤

以⑤代入①消去f得a+2b-c+d+e+g=25⑥

③、④分别代入⑥得:2b-c+2d+2e+2g=24⑦

3b+d+e+g=25⑧

×⑧-⑦得:4b+c=26⑨

≥0,∴4b≤26,b≤61 2

52 9以以2∵c利用⑤⑨消去c,得f=b-2(26-4b)=9b-52 ∵f≥0,∴9b≥52,b≥

∵b是整数,

∴b=6,即能解出B题的学生有6人。

三、综合素质题。(10分)

解:(1)作AE⊥OB于E,∵A(4,4),∴OE=4,

∵△AOB为等腰直角三角形,且AE⊥OB,∴OE=EB=4,

∴OB=8,∴B(8,0)

(2)作AE⊥OB于E,DF⊥OB于F,

∵△ACD为等腰直角三角形,∴AC=DC,∠ACD=90°即∠ACF+∠DCF=90°, ∵∠ FDC+ ∠DCF=90°,∴∠ACF=∠FDC,

又∵∠DFC=∠AEC=90°,

∴△DFC≌△CEA,

∴EC=DF,FC=AE,

∵A(4,4),∴AE=OE=4,∴FC=OE,即OF+EF=CE+EF, ∴OF=CE,∴OF=DF,∴∠DOF=45° ∵△AOB为等腰直角三角形,∴∠AOB=45°,

∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°。 AM?MF?1成立,理由如下:

(3)OF

在AM上截取AN=OF,连EN.∵A(4,4),

∴AE=OE=4,又∵∠EAN=∠EOF=90°,AN=OF,

∴△EAN≌△EOF(SAS)

∴∠OEF=∠AEN,EF=EN,

又∵△EGH为等腰直角三角形, ∴∠GEH=45°,即∠OEF+∠OEM=45°,∴∠AEN+∠OEM=45°

又∵∠AEO=90°,∴∠NEM=45°=∠FEM,又∵EM=EM, ∴△NEM≌△FEM(SAS) ,

∴MN=MF,∴AM-MF=AM-MN=AN,∴AM-MF=OF, 即AM?MF?1。 OF

数学与生活。(10分)

评分标准:语言表达清楚(2分)、故事内容全面(2分)、故事中包含数学知识 (4分,包含的数学知识越多,得分越多高)、不少于150字(2分)。 参考:可结合数的分类、数的特点来编写故事。

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