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数学竞赛中的二次函数问题_上_

发布时间:2014-05-22 14:17:48  

2009年第7期13

从高考到竞赛

从本期开始,本刊隆重推出从高考到竞赛栏目。本栏目的宗旨是:

为竞赛打好基础,为高考丰富知识;为竞赛提升能力,为高考储备能量。

高考与竞赛在知识上是相通的,在方法上是类似的,在数学思想上是一致的。栏目力求兼顾高考与竞赛,特别是高中联赛的第一试,从高考出发,到竞赛落脚,深入浅出,起点低,坡度缓,跨度大。读者群指向大多数高中生及数学教师,愿本栏目对读者有益,对高考和数学竞赛都有益。

欢迎广大作者积极为本栏目撰稿。

(上)

曹贤鸣

(浙江省台州市第一中学,318000)

  二次函数与二次方程、二次不等式的交汇自然贴切、一脉相承,因而,此类问题内容丰富、解题思路灵活多样,一直是高考和高中联赛第一试的重要内容之一.

0).因此,可利用零点式求解.

二次函数解析式常见形式有三种.求二次函数解析式,就是选取其中一种形式,结合已知条件列方程(组)求出待定系数,进而确定二次函数的解析式.

例1 设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(-x+2)

且它的图像与y轴交于点(0,1),在x轴上截得的线段长为22.求f(x)的解析式.

(2002,安徽省高中数学竞赛)

讲解:利用二次函数图像的对称性,再结合它在x轴上截得的线段长为2,知f(x)的(2+2,0),图像与x轴的交点为(2-2,

  收稿日期:2009-02-04

设f(x)=a(x-2+2)(x-2-).

由于二次函数的图像经过点(0,1),代

入待定式求得a=.于是,

2f(x)(x-2+2)(x-2-2),

22

即 f(x)x-2x+1.

2

说明:在求二次函数的解析式时,要充分利用其图像的几何性质,灵活选取待定式,优化求解过程.1.2 二次函数在闭区间上的最值

求二次函数f(x)在闭区间[m,n]上的最值,视二次函数图像的开口情况及其对称轴与闭区间的相对位置关系来判断二次函数在闭区间[m,n]上的单调性,进而求最值.

例2 已知二次函数

22

f(x)=4x-4ax+(a-2a+2)在0≤x≤1上的最小值为2.求a的值.

(2001,湖南省高中数学奥林匹克选拔赛)

讲解:注意到

14中等数学

f(x)=x-

2

2

-2a+2.f(x)max=f(0)=

=2b,2

2b=2a.22

2

易知其图像的开口向上,且对称轴为

x2

.于是,可按其对称轴x

=

f(x)min=f(b)=-

2

与闭区间x

[0,1]的三种位置关系分类求解.(1)当

故2a=f(b)=-24

+

=>0,232

2

<0,即a<0时,由题意

2

f(x)min=f(0)=a-2a+2=2.

解得a=0或2,都与a<0矛盾.所以,此时a不存在.

(2)当0f(x)min=2

≤1,即0≤a≤2时,

由题意=-2.

与a<0矛盾,舍去.

(3)当<0<b时,f(x)x=0处取

2

最大值,在x=af=f(0=2)fa)=-a=2a.22

解得a=-2±17,b结合

2

a.4

>1,a>2时,由题意

2

2

<0<b得-2-17,

.f(x)min=f(1)=4-4a+a-2a+2=2.[a,b]=

解得a=3.

因为a>2,所以,a=3+5.综上,a=0或3+5.例3 已知函数f(x)=-2x+在区22

(4)当a<b≤0时,f(x)在[a,b]上单调

递增,则f(a)=2a,f(b)=2b,即

222a=-a,2b=-b.

2222

由于方程

2x+2x-=0的两根异号,

22

间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b.求

[a,b].

(2000,全国高中数学联赛)

讲解:按二次函数f(x)=-

2x+的22

对称轴x=0与区间[a,b]的相对位置关系

分类求解.

(1)当0≤a<b时,f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)=2b,f(b)=2a.于是,

22b=-a,

2222a=-b.

22

解得a=1,b=3.故[a,b]=[1,3].

(2)当a<0时,f(x)在x=0处取

2

最大值,在x=b处取最小值2a,即

因此,满足a<b≤0的区间不存在.

综上所述,所求区间为

17,[1,3]或-2-.

说明1:当a<0<b时,由f(x)在x=0

处取最大值求得b=.此时,

42

f(b)=-=>0,

24232

与f(b)=2a<0矛盾.所以,f(x)只能在x=

(3)两类合a处取得最小值2a.因此,将(2)、

并后常简化为三类情况求解.

说明2:二次函数在闭区间上的最值问题常见题型有:区间定对称轴定、区间定对称轴动(如例2)、区间动对称轴定(如例3)和区间动对称轴动.对于区间动对称轴动,或者

2009年第7期15

再结合开口情况不定的问题往往分类情况更多,但不管怎样,f(x)在闭区间[m,n]上的最值仅在f(m)、f(n)和-三处取得,2再结合a>9c,得a-3c≥1.

所以,只要按此标准分三类求解即可.当然,求解后还得检验.

2 二次函数与二次方程的实根分布

所以,a≥1+3c≥1+3×1=4,即

a≥16.

当a=16时,只有c=1.此时,

b≥2

ac=8.

2

例4 已知a、b、c是正整数,关于x的一

2

元二次方程ax+bx+c=0的两实数根的绝对值均小于

.求a+b+c的最小值.3

经验证16x+8x+1=0满足题设要求.故a+b+c的最小值为25.

说明1::,,再,2

2:[1]由

b-4

ac≥0,得

2

=4×c>36,

c

(2005,赛)

讲解:设x12+c0的两根x12-,x1x2.aa

2

所以,x1

<0,x2<0.由x1x2=,得>9.

a9c

从而,ax+bx+c=0的两根x1、x2

-,.于是,可利用一元二次方程实根3

分布的相关知识求解.

2

设f(x)=ax+bx+c.则

f(0)=c>0,-2

估计得b≥7,然后分别对b=7,8,9枚举求解,情况多种.这里,利用一元二次方程实根分布的相关知识先对a进行估计,大大缩小了范围.因此,求解此类问题时要选好对象进行估计,优化求解过程.

≤x,且方程

2

cos2x

-4acosx-

a+2=0

有两个不同的解.试求a的取值范围.

(2007,全国高中数学联赛甘肃赛区预赛)

讲解:由题意有

2

2cosx-1-4acosx-a+2=0,

2

即 2cosx-4acosx-a+1=0.

2

例5 设-

①②③④

3

a-b+c>0,

93

-

<-<0,

32a

Δ=b2-4ac≥0.

由式④得b≥2ac.

由式②得a+cb,即a+9c>3b.

93

又由a、b、c是正整数知,a+9c、3b都是正整数,故a+9c≥3b+1.

由上知a+9c≥3b+1≥6整理得

(a-3c)≥1.

2

ac+1.

≤x,知0≤t≤1.

2

于是,原方程有两个不同的解等价于方2

程2t-4at-a+1=0在0<t≤1范围内有一个解.

2

令f(t)=2t-4at-a+1.(1)判别式大于零时,只要f(0)f(1)≤0,f(0)≠0

(-a+1)(-5a+3)≤0,]

-a+1≠0]≤a<1.5

2

令t=cosx.由-

16中等数学

  问题 一天内的不同时刻,经理把文件交给秘书打印,每次都将一份文件放在秘书文件堆的上面,秘书有时间就将文件堆最上面的那份取来打印,每次取一份.若有n份文件,且经理是按1,2,…,n来,问:秘书打印完这n多少种?

[1,2]

”问题.虽然这,但却有着相同的结论.这也充分体出数学的趣味性.

分析:假设第一次取第r(1≤r≤n)号文件,表明第1,2,…,r-1号文件已经按从小到大、由下至上的顺序叠放好,这r-1份文件只能按照r-1,…,2,1的顺序来打印(不一定连续),余下的n-r份文件也随时会送到,即第r+1,r+2,…,n号文件可能插排在r,r-1,…,2,1中除了首位的其他位置上.同样,若r号文件在某一次序打印,则没有打印

  收稿日期:2008-11-17

(2)判别式等于零时,还要二次函数的

对称轴t=a穿过0<t≤1,即

0<a≤1,2a+a-1=00<a≤1,

2

]

 ]a=2.

a=-1或a=

2

≤a<1或a.52

故a的取值范围为

说明:解一元二次方程实根分布问题的常用方法有:

△专题写作

一个排序问题的解决

臧殿高

(江苏省大丰高级中学,224100)

的文件可分为两类:r,一类编

号小于r.,编r,所以,.

1 设X1,X2,…,Xn是由1,2,…,n这n个数排成的一个数列,对于任意的t(tN,1≤t≤n),在Xt+1,Xt+2,…,Xn中,若存在Xs1,Xs2,…,Xsr均小于Xt(s1<s2<…<sr),都有Xs1>Xs2>…>Xsr,则称X1,X2,…,Xn是一个n可行序列.

显然,每一个n可行序列都是秘书可能打印的一种顺序.

定义2 

由1,2,…,n排成的所有的n可行序列的个数记为f(n).其中,所有以m(1≤m≤n,mN)为首项的n可行序列构成集合G(n,m),集合G(n,m)的元素个数记为D(n,m).

命题1(最短路径问题) 在平面直角坐标系中,由满足i、jN,i≥j的坐标(i,j)构成的方格网络图(图1)中,从点O(0,0)出发

(1)利用求根公式求出方程的根,再由

]

0<a≤1,

(a+1

)(2a-1)=0

题设中根所在的范围建立不等式进而求解;

(2)利用韦达定理,结合根所在的范围建立不等式;

(3)借助二次函数图像,建立相应的不等式(组)求解(如例4、例5).比较三种方法,方法1思路清晰,但有时运算量较大;方法2要符合根所在的范围进行适当的调整,有时技巧性较强;方法3结合图像直观、简捷.

(未完待续)

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