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两题数学题的解法

发布时间:2014-05-24 08:10:06  

两题数学题的解法

1、如图1,在四边形ABCD的AB边上任取一点E(点E不与点A、点B重合),分别连接ED、EC,可以把四边形ABCD分成3个三角形.如果其中有2个三角形相似,我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点;如果这3个三角形都相似,我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点.

(1) 若图1中,∠A=∠B=∠DEC=50°,说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点;

(2) ①如图2,画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点.(要求:画图工具不限,不写画法,保留画图痕迹或有必要的说明.)

②对于任意的一个矩形,是否一定存在强相似点?如果一定存在,请说明理由;如果不一定存在,请举出反例.

(3)在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,∠B=90°,点E是梯形ABCD的AB边上的一 个强相似点,判断AE与BE的数量关系并说明理由.

A E 图1 B A 图2 B C D C

解:(1)理由:∵∠A=50°,∴∠ADE+∠DEA=130°.

∵∠DEC=50°,∴∠BEC+∠DEA=130°.∴∠ADE=∠BEC. ∵∠A=∠B,∴△ADE∽△BCE.∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点.

(2)①以CD为直径画弧,取该弧与AB的一个交点即为所求.

连接FC,DF,∵CD为直径,∴∠DFC=90°,

∵CD∥AB,∴∠DCF=∠CFB,∵∠B=90°,∴△DFC∽△CBF,

同理可得出:△DFC∽△FAD,

(若不用圆规画图,则必须在图上标注直角符号或对直角另有说明.)

②对于任意的一个矩形,不一定存在强相似点,如正方形.

(3)第一种情况:∠A=∠B=∠DEC=90°,∠ADE=∠BEC=∠EDC,即△ADE∽△BEC∽△EDC. 方法一:延长DE,交CB的延长线于点F,

说明DE=EF,说明AE=BE.过点E作EF⊥DC,垂足为F.

因为∠ADE=∠CDE,∠BCE=∠DCE,所以AE=EF,EF=BE.所以AE=BE.

方法二:过点E作EF⊥DC,垂足为F.因为∠ADE=∠CDE,∠BCE=∠DCE,

所以AE=EF,EF=BE.所以AE=BE.

方法三:

第一种情况:由△ADE∽△EDC可得DE/DC=AE/EC 即AE=DE?EC/DC

同理,由△BEC∽△EDC 可得EC/DC=BE/ED 即BE=ED?EC/DC

所以AE=BE

第二种情况:∠A=∠B=∠EDC=90°,∠ADE=∠BCE=∠DCE,

即△ADE∽△BEC∽△DCE.所以∠AED=∠BEC=∠DEC=60°

说明AE=1/2DE,BE=1/2CE,DE=1/2CE﹙或说明BE=DE,AE=1/2DE﹚

所以AE=1/2BE 综上,AE=BE或AE=1/2BE.

2、已知D是等边三角形ABC的BC边上一点,把三角形ABC向下折叠,折痕为MN,使A点落在D点处,若BD:DC=3:4,则AM:AN=

由折叠,得AM=DM,AN=DN,∠BAC=∠MDN=60 所以∠BDM+∠CDN=120

因为等边三角形中∠B=∠C=60 所以∠BMD+∠BDM=60

所以∠BMD=∠CDN 又∠B=∠C

所以△MBD∽△DCN 所以BD/CN=MB/DC=DM/DN

设边长为a, 则,BD/(a-AN)=(a-AM)/CD=AM/AN

由比的性质,得,

AM/AN=(BD+a-AM+AM)/(a-AN+CD+AN)=(a+BD)/(a+CD)=(a+3a/7)/(a+4a/7)

解得AM/AN=10:11

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