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11初中数学竞赛辅导资料(11)

发布时间:2014-05-24 14:54:25  

初中数学竞赛辅导资料(11)

二元一次方程组解的讨论

甲内容提要

?a1x?b1y?c11. 二元一次方程组?的解的情况有以下三种: ax?by?c22?2

① 当a1b1c1(∵两个方程等效) ??时,方程组有无数多解。a2b2c2

a1b1c1(∵两个方程是矛盾的) ??时,方程组无解。a2b2c2

a1b1?(即a1b2-a2b1≠0)时,方程组有唯一的解: a2b2② 当③ 当

c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ? (这个解可用加减消元法求得) ca?ca?y?2112

?a1b2?a2b1?

2. 方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按二元一次方程整数解的求法进行。

3. 求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解含待定系数的不等式或加以讨论。(见例2、3) 乙例题

例1. 选择一组a,c值使方程组??5x?y?7 ?ax?2y?c

① 有无数多解, ②无解, ③有唯一的解

解: ①当 5∶a=1∶2=7∶c时,方程组有无数多解

解比例得a=10, c=14。

② 当 5∶a=1∶2≠7∶c时,方程组无解。

解得a=10, c≠14。

③当 5∶a≠1∶2时,方程组有唯一的解,

即当a≠10时,c不论取什么值,原方程组都有唯一的解。 25

例2. a取什么值时,方程组??x?y?a 的解是正数? ?5x?3y?31

解:把a作为已知数,解这个方程组 31?3a??31?3ax??0???x?0??22得? ∵? ∴? 5a?315a?31y?0??y???0??2??2

?a???解不等式组得??a???

答:当a的取值为631113 解集是6?a?10 3153511?a?10时,原方程组的解是正数。 53

例3. m取何整数值时,方程组??2x?my?4的解x和y都是整数?

?x?4y?1

8?x?1???m?8解:把m作为已知数,解方程组得?

?y?2

?m?8?

∵x是整数,∴m-8取8的约数±1,±2,±4,±8。

∵y是整数,∴m-8取2的约数±1,±2。

取它们的公共部分,m-8=±1,±2。

解得 m=9,7,10,6。

经检验m=9,7,10,6时,方程组的解都是整数。

例4(古代问题)用100枚铜板买桃,李,榄橄共100粒,己知桃,李每粒分别是3,4枚铜板,而榄橄7粒1枚铜板。问桃,李,榄橄各买几粒? 解:设桃,李,榄橄分别买x, y, z粒,依题意得

?x?y?z?100??(1)? 1?3x?4y?z?100(2)?7?

由(1)得x= 100-y-z (3)

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把(3)代入(2),整理得

y=-200+3z-

设z 7z?k(k为整数) 得z=7k, y=-200+20k, x=300-27k 7

100?k???300?27k?09??∵x,y,z都是正整数∴??200?20k?0解得?k.?10(k是整数)

?7k?0?k.?0???

∴10<k<111, ∵k是整数, ∴k=11 9

即x=3(桃), y=20(李), z=77(榄橄) (答略)

丙练习11

1. 不解方程组,判定下列方程组解的情况:

?x?2y?3?2x?y?3?3x?5y?1① ? ②? ③? 3x?6y?94x?2y?33x?5y?1???

2??x?3y?a?a?1?22. a取什么值时方程组??9x?6y?9a?2a?2的解是正数?

?x?2y?5?a3. a取哪些正整数值,方程组?的解x和y都是正整数? 3x?4y?2a?

4. 要使方程组??x?ky?k的解都是整数, k应取哪些整数值?

?x?2y?1

5. (古代问题)今有鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,鸡翁,鸡母,鸡雏都买,可各买多少?

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