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9初中数学竞赛辅导资料(9)

发布时间:2014-05-24 14:54:36  

初中数学竞赛辅导资料(9)

一元一次方程解的讨论

甲内容提要

1、方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。

例如:方程2x+6=0,x(x-1)=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解 分别是:x=-3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数,无解。

2、关于x 的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程ax=b后,

b讨论它的解:当a≠0时,有唯一的解x=; a

当a=0且b≠0时,无解;

当a=0且b=0时,有无数多解。(∵不论x取什么值,0x=0都成立)

3、求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a|b时,方程有整数解;

当a|b,且a、b同号时,方程有正整数解;

当a、b同号时,方程的解是正数。

综上所述,讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程ax=b 乙例题

例1 a取什么值时,方程a(a-2)x=4(a-2)①有唯一的解?②无解? ③有无数多解?④是正数解?

4解:①当a≠0且a≠2 时,方程有唯一的解,x= a

②当a=0时,原方程就是0x= -8,无解;

③当a=2时,原方程就是0x=0有无数多解

4④由①可知当a≠0且a≠2时,方程的解是x=,∴只要a与4同号, a

即当a>0且a≠2时,方程的解是正数。

例2 k取什么整数值时,方程

①k(x+1)=k-2(x-2)的解是整数?

②(1-x)k=6的解是负整数?

解:①化为最简方程(k+2)x=4

当k+2能整除4,即k+2=±1,±2,±4时,方程的解是整数 ∴k=-1,-3,0,-4,2,-6时方程的解是整数。 ②化为最简方程kx=k-6,

k?66当k≠0时x==1-, kk

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只要k能整除6,即 k=±1,±2,±3,±6时,x就是整数

当k=1,2,3时,方程的解是负整数-5,-2,-1。

例3、己知方程a(x-2)=b(x+1)-2a 无解。问a和b应满足什么关系? 解:原方程化为最简方程: (a-b)x=b

∵方程无解,∴a-b=0且b≠0

∴a和b应满足的关系是a=b≠0。

例4 a、b取什么值时,方程(3x-2)a+(2x-3)b=8x-7有无数多解? 解:原方程化为最简方程:(3a+2b-8)x=2a+3b-7,

根据 0x=0时,方程有无数多解,可知

?3a?2b?8?0当 ?时,原方程有无数多解。

?2a?3b?7?0

?a?2解这个方程组得? b?1?

答当a=2且b=1时,原方程有无数多解。

丙练习(9)

1, 根据方程的解的定义,写出下列方程的解:

① (x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9, ④|x|=-3,

⑤3x+1=3x-1, ⑥x+2=2+x

2,关于x的方程ax=x+2无解,那么a__________

3,在方程a(a-3)x=a中,

当a取值为____时,有唯一的解; 当a___时无解;

当a_____时,有无数多解; 当a____时,解是负数。 4,k取什么整数值时,下列等式中的x是整数?

462k?33k?2① x= ②x= ③x= ④x= kk?1kk?1

5,k取什么值时,方程x-k=6x的解是 ①正数? ②是非负数? 6,m取什么值时,方程3(m+x)=2m-1的解 ①是零? ②是正数?

3x?6a?2?1?7,己知方程的根是正数,那么a、b应满足什么关系? 42

x28,m取什么整数值时,方程(?1)m?1?m的解是整数? 33

b39,己知方程(x?1)?1?ax有无数多解,求a、b的值。 22

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