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初中数学竞赛辅导资料(31)

发布时间:2014-05-25 15:04:41  

初中

勾股定理 31)

甲内容提要

1. 勾股定理及逆定理:△ABC中 ∠C=Rt∠?a2+b2=c2

2. 勾股定理及逆定理的应用

① 作已知线段a的2,3, 5……倍

② 计算图形的长度,面积,并用计算方法解几何题

③ 证明线段的平方关系等。

3. 勾股数的定义:如果三个正整数a,b,c满足等式a2+b2=c2,那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.

4. 勾股数的推算公式

① 罗士琳法则(罗士琳是我国清代的数学家1789――1853)

任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2,2mn, m2+n2是一组勾股数。

k2?1k2?1② 如果k是大于1的奇数,那么k, ,是一组勾股数。 22

?K??K?③ 如果k是大于2的偶数,那么k, ???1,???1是一组勾股?2??2?

数。

④ 如果a,b,c是勾股数,那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。

5. 熟悉勾股数可提高计算速度,顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有:3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 9,40,41。

乙例题

例1.已知线段a a 225a2a 3a a 求作线段5a

分析一:5a=5a2=4a2?a2 2a ∴5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。

分析二:5a=9a?4a2

99 2

∴5a是以3a为斜边,以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。

作图(略)

例2.四边形ABCD中∠DAB=60,∠B=∠D=Rt∠,BC=1,CD=2

求对角线AC的长

??解:延长BC和AD相交于E,则∠E=30

∴CE=2CD=

4, 在Rt△ABE中

设AB为x,则AE=2x

25根据勾股定理x+5=(2x), x= 32222在Rt△ABC中,AC=x2?12=22521 ?1=33

例3.已知△ABC中,AB=AC,∠B=2∠A

求证:AB2-BC2=AB×BC 证明:作∠B的平分线交AC于D, 则∠A=∠ABD, ∠BDC=2∠A=∠C

∴AD=BD=BC 作BM⊥AC于M,则CM=DM AB2-BC2=(BM2+AM2)-(BM2+CM2)

=AM2-CM2=(AM+CM)(AM-CM)

=AC×AD=AB×BC

例4.如图已知△ABC中,AD⊥BC,AB+CD=AC+BD

求证:AB=AC

证明:设AB,AC,BD,CD分别为b,c,m,n

则c+n=b+m, c-b=m-n

∵AD⊥BC,根据勾股定理,得

AD2=c2-m2=b2-n2

∴c2-b2=m2-n2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)

(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b) (c+b)(c-b) -(m+n)(c-b)=0

(c-b){(c+b)-(m+n)}=0

∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b

∴AB=AC

100

例5.已知梯形ABCD中,AB∥CD,AD>BC

求证:AC>BD

证明:作DE∥AC,DF∥BC,交BA或延长线于点E、F

ACDE和BCDF都是平行四边形

∴DE=AC,DF=BC,AE=CD=BF 作DH⊥AB于H

AH

=AD2-DH2,FH ∵AD>BC,AD>DF ∴AH>FH,EH>BH HDE=DH2?EH2,BD=DH?BH2

∴DE>BD

即AC>BD

例6.已知:正方形ABCD的边长为1,正方形EFGH内接于ABCD,AE=a,

AF=b,且SEFGH=2 3

求:b?a的值 (2001年希望杯数学邀请赛,初二)

解:根据勾股定理

G2222 a+b=EF=SEFGH= ;① 3

1∵4S△AEF=SABCD-SEFGH ∴ 2ab= ② 3① -②得 (a-b)2=1 ∴b?a= 33

丙练习31

1. 以下列数字为一边,写出一组勾股数:

① 7,__,__ ②8,__,__ ③9,__,__

④10,__,__ ⑤11,__,__ ⑥12,__,__

2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值:

① 252-242=__, ②52+122=__,

③8?15=___,④25-15=___

101 2222

3. △ABC中,AB=25,BC=20,CA=15,CM和CH分别是中线和高。

那么S△ABC=__,CH=__,MH=___

4. 梯形两底长分别是3和7,两对角线长分别是6和8,则S梯形=___

5.已知:△ABC中,AD是高,BE⊥AB,BE=CD,CF⊥AC,CF=BD

求证:AE=AF

6.已知:M是△ABC内的一点,MD⊥BC,ME⊥AC,MF⊥AB,

且BD=BF,CD=CE

求证:AE=AF B D

7.在△ABC中,∠C是钝角,a2-b2=bc 求证∠A=2∠B

8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。(用反证法)

9.已知直角三角形三边长均为整数,且周长和面积的数值相等,求各边长

10等腰直角三角形ABC斜边上一点P,求证:AP2+BP2=2CP2

11.已知△ABC中,∠A=Rt∠,M是BC的中点,E,F分别在AB,AC

ME⊥MF

求证:EF2=BE2+CF2

12.Rt△ABC中,∠ABC=90,∠C=60,BC=2,D是AC的中点,从?0

D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E,以AB、BE为邻边作矩形ABEF,

连结DF,则DF的长是____。(2002年希望杯数学邀请赛,初二试题)

C13.△ABC中,AB=AC=2,BC边上有100个不同的点p1,p2,p3,…p100,

记mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2……,100),则m1+m2+…+m100=____

(1990年全国初中数学联赛题)

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