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初中数学竞赛辅导资料(36)

发布时间:2014-05-25 15:04:41  

初中数学竞赛辅导资料(36)

三点共线

甲内容提要

1. 要证明A,B,C三点在同一直线上, A。 B。 C。 常用方法有:①连结AB,BC证明∠ABC是平角

②连结AB,AC证明AB,AC重合

③连结AB,BC,AC证明 AB+BC=AC

④连结并延长AB证明延长线经过点C

2. 证明三点共线常用的定理有:

① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行

② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半

④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半

⑤ 两圆相切,切点在连心线上

⑥ 轴对称图形中,若对应线段(或延长线)相交,则交点在对称轴上

乙例题

例1.已知:梯形ABCD中,AB∥CD,点P是形内的任一点,PM⊥AB, PN⊥CD

求证:M,N,P三点在同一直线上 证明:过点P作EF∥AB, ∵AB∥CD,∴EF∥CD ∠1+∠2=180,∠3+∠4=180

∵PM⊥AB,PN⊥CD

∴∠1=90,∠3=90 ∴∠1+∠3=180 ∴ M,N,P三点在同一直线上

例2.求证:平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点,三点在同一直

线上

已知:平行四边形ABCD中,M,N分别是AD和BC的中点,O是AC和BD的交点

求证:M,O,N三点在同一直线上

证明一:连结MO,NO ∵MO,NO分别是△DAB和△CAB的中位线

∴MO∥AB,NO∥AB

根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行

119 ?????

∴ M,O,N三点在同一直线上

, 证明二:连结MO并延长交BC于N

∵MO是△DAB的中位线 ∴MO∥AB

,在△CAB中

,∵AO=OC,ON∥AB ,,,∴BN=NC,即N是BC的中点 ∵N也是BC的中点,

,∴点N和点N重合

∴ M,O,N三点在同一直线上

例3.已知:梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90,M,N分别是AB

和CD的中点,BC,AD的延长线相交于P

求证:M,N,P三点在同一直线上 证明:∵∠A+∠B=90,

??∠APB=Rt∠

连结PM,PN 根据直角三角形斜边中线性质 PM=MA=MB,PN=DN=DC ∴∠MPB=∠B,∠NPC=∠B

∴PM和PN重合 ∴M,N,P三点在同一直线上 例4.在平面直角坐标系中,点A关于横轴的对称点为B,关于纵轴的对称

点是C,求证B和C是关于原点O 解:连结OA,OB,OC ∵A,B关于X轴对称, ∴OA=OB,∠AOX=∠BOX 同理OC=OA,∠AOY=∠COY ∴∠COY+∠BOX=90 X ?

∴B,O,C 三点在同一直线上 ∵OB=OC

∴ B和C是关于原点O的对称点 例5.已知:⊙O1和⊙O2相交于A,BO1

和⊙O2于E,F。

求证:AE,AF和⊙O1和⊙O2的直径成比例

120

证明:作⊙O1和⊙O2的直径AM,AN,连结AB,BM,BN

∵AM,AN分别是⊙O1和⊙O2的直径 ∴∠ABM=Rt∠,∠ABN=Rt∠ ∴M,B,N在同一直线上

∴∠M=∠E,∠N=∠F ∴△AMN∽△AEF AMAN?∴ AEAF

丙练习36

1. 已知:梯形ABCD中,AB∥CD,M,N,P分别是AD,BC,AC的中

点 求证:M,N,P三点在同一直线上

2. 已知:△ABC中,BE,CF是中线,延长BE到G,使EG=BE,延长

CF到H,使FH=CF,

求证:G,A,H三点共线

3. 已知:正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,DE⊥AN于E,

求证:点M在DE的延长线上(同33第5)

4. 求证:梯形两腰中点和两条对角线的中点,四点在同一直线上

5. 已知:梯形ABCD中,AB∥CD,∠A和∠D的平分线相交于O,

求证:点O在梯形的中位线上

6. 已知:△ABC中,∠ABM,∠ACN分别是∠B,∠C的邻补角,从点

A作∠B,∠C,∠ABM,∠CAN四个角平分线的垂线段AD,AE,AF,

AG,垂足是D,E,F,G

求证:D,E,F,G四点在同一直线上

7. 已知:点P在等边△ABC外,PA=PB+PC,以PA为一边作等边△APQ

使点Q和点C在PA的同一侧

求证:PQ必过点C

8. 已知:△ABC中,AB=AC,直线AP∥BC,点D和点C是关于直线

AP的对称点

求证:点D和点B是关于点A的对称点

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