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初中数学竞赛辅导资料(38)

发布时间:2014-05-25 15:04:43  

初中数学竞赛辅导资料(38)

平行和垂直

甲内容提要

一.证明两直线互相平行常用的定理

① 利用角 同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,两直线平行。 ② 利用第三线 都平行或都垂直于第三线的两直线平行。 ③ 利用比例式 △ABC中,如果AD

DB?AE

EC

那么DE∥BC

④ 其他 三角形中位线平行于第三边 梯形中位线平行于两底

平行四边形对边平行

二.证明两直线互相垂直常用的定理 1. 按垂直定义 即证明两直线相交所成的四个角中,有一个是直角。 直角是180?的一半,常见的180?有:平角,邻补角,平行线的同旁内角,三角形内角和。

2. 在三角形中证明直角

① 如果一个角等于其他两个角的和,那么这个角是直角。

② 若一边平方等于其他两边的平方和,则这边所对的角是直角。 ③ 若一边中线等于这边的一半,则这边所对的角是直角。

④ 等腰三角形顶角平分线(或底边中线)是底边上的高。

⑤ 和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。

3. 菱形对角线互相垂直

乙例题

例1.从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线,两个垂足的连线平行于这个角的对边。

已知:△ABC中,BD,CE是角平分线,AM⊥BD,AN⊥CE

求证:MN∥BC

证明:分别延长AM,AN交BC于F 则∠AMB=∠BMF=Rt∠ ∵∠1=∠2,BM=BM ∴△AMB≌△FMB ∴AM=MF 同理可证AN=NG ∴MN是△AFG的中位线, ∴MN∥FG,即MN∥BC

BGC127

例2.已知:AD是Rt△ABC斜边上的高,角平分线BE交AD于F,

EG⊥BC交BC于G A

求证:FG∥AC,AG⊥BE

证明的要点:

E ∵BE是角平分线,

∴点E到∠ABC的两边距离相等,

即EA=EG B D G C

∵∠AFE,∠AEF分别是∠EBC,∠ABE的余角, ∴∠AFE=∠AEF 得AF=AE=EG,且EG∥AF, 故AFGE是菱形

例3.已知:如图AD是等腰直角△ABC斜边上高

BM,BN三等分∠ABC,CM延长线交AB于E

求证:EN∥BM

证明要点: 根椐轴对称图形的性质 CM,CN也三等分∠ACB 点N是△ACE的内心, ∴EN是∠AEC的平分线 ∴∠1=∠ABM=30

例4.已知:A,B,C三点在同一直线上,△ABD和△BCE都是等边三角形,

AE交BD于M,CD交BE于N

求证:MN∥AC

证明:在等边△ABD和△BCE中

?AB=BD,BC=CE,∠ABD=∠BCE=60?C

∴BM∥CE ∴AM

ME=AB

BC,BN

NC?BD

CE, ∴AM

`ME?BN

CE ∴MN∥AC

例5.已知:正方形ABCD中,P是AC上的任意点,过点P作PE⊥AB

作PF⊥BC 求证:PD⊥EF

? 分析:要证明PD⊥EF,可证∠PMF=90 先证∠1+∠2=90? ∵∠2+∠3=90? 而∠1=∠4 只要证∠3=∠4 可用边角边证△BEF≌△GPD (证明略) 128

例6.已知:⊙O和⊙Q相交于A,B,⊙Q经过点O,C是⊙O优弧AB上的一点,CB延长线交⊙Q于D,

求证:DO⊥AC

证明:连结AB,作⊙O直径AE,DO延长线交

AC于F ∵∠C=∠E,∠D=∠EAB

∴∠CFD=∠ABE=Rt∠, ∴DO⊥AC 丙练习38 D

1. 四边形ABCD中,∠A=∠B,AD=BC,则AB∥CD

2. 正方形ABCD中,E在边BC上,F在边AB的延长线上,且AE=BF

则AE⊥CF

3. 已知:平行四边形ABCD的AB=2BC,E,F分别在BC和CB的延长

线上且CE=BF=BC 求证:AE⊥DF

4. 分别以△ABC的边AB和BC为一边,向形外作两个正方形ABEF和

BCGH,求证 AH=CE,AH⊥CE

5. 已知:D,E,F是△ABC边BC,CA,AB的中点,H,G在形外,且

HE⊥AC,HE=1

2AC,GD⊥BC,GD=1

2BC

求证:△FDG≌△HEF FG⊥FH

6. 已知:在平行四边形ABCD中,

∠A和∠B的平分线交于E,

∠C和∠D的平分线相交于F 求证:EF∥BC C

7. 三角形三条高(或它们的延长线)必相交于一点 这点叫做三角形的垂

心,如图△ABC中,两条高AD和BE交于H H是△ABC的垂心 D是△_____的垂心

E是△___的垂心 C是△______的垂心(1989年泉州市初二数学双基赛题) 8. 已知:O为等腰直角三角形ABC底边BC的中点,在BC的延长线上任

取一点P,过P作AB的垂线PD,D为垂足,过P作AC的垂线PE,E为垂足。

试问:不论P点在BC延长线上的哪一个位置,∠DOE都等于几度?并证明你的结论(1988年泉州市初二数学双基赛题)

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